【年金数理】単位積立方式（Unit Credit Method）

今回は財政方式の一つである単位積立方式についてご紹介します。

この財政方式は定常状態における財政方式の一つであり、在職中に年金を積み立てる

事前積立方式の一つでもあります。

この制度の保険料払い込み対象者は、在職中の被保険者となっており、

保険料率は

${}^{U }\textrm{P}_{x}= \left ( \frac{1}{x_{r}-x_{e}} \right )\cdot \left ( \frac{D_{x_{r}}\cdot \ddot{a}_{x_{r}}}{D_{x}} \right )$ ・・・①

となっており、年齢とともに異なっていることがわかります。

覚えてくべき点としてはこの保険料率は年齢とともに増加していき、定年に近づけば近づくほど、支払わなければならない保険料が増加していくという点です。 $D_x$ はxに対して、単調減少であるので、 ${}^{U }\textrm{P}_{x}$ は単調増加であるといえます。

単位積立方式では、Trowbrigeモデルにおいては退職時おける給付原資を各年度に均等に振り分けます。このような振り分けをおこなった後の給付原資を「単位給付原資」といいます。

給付原資がAの場合は、単位給付原資は

$\frac{A}{x_r-x_e}$ ・・・②

となります。例えば、退職者を対象に $\ddot{a}_{x_r}$ を支給する場合の単位給付原資は

$\frac{\ddot{a}_{x_r}}{x_r-x_e}$ ・・・③

となります。このように、勤務期間を基準とする方法は，「勤務定額基準」と呼ばれます。

※Trowbrigeモデルが仮定されていない場合は、単位給付原資は均等に分けられないこともあります。

問題１　単位積立方式の保険料率 ★★☆☆☆

Trowbrigeモデルの単位積立方式の保険料 $^UP_x$ に関する以下の算式に関して正しいものはどれか。

(A) $\frac{d^UP_x}{di}=-(x_r-x)\cdot^UP_x-\frac{1}{x_r-x_e}\cdot\frac{S_{x_r+1}}{D_x}$

(B) $\frac{d^UP_x}{di}=-(x_r-x)\cdot^UP_x-\frac{1}{x_r-x_e}\cdot\frac{S_{x_r}}{D_x}$

(D) $\frac{d^UP_x}{di}=-v(x_r-x)\cdot^UP_x-\frac{v}{x_r-x_e}\cdot\frac{N_{x_r+1}}{D_x}$

(E) $\frac{d^UP_x}{di}=-v(x_r-x)\cdot^UP_x-\frac{v}{x_r-x_e}\cdot\frac{S_{x_r+1}}{D_x}$

◆解答解説

まずは、単位積立方式の保険料の公式①を用いると

$\frac{d^UP_x}{di}=\frac{d}{di}\cdot \frac{1}{x_r-x_e}\frac{N_{x_r}}{D_x}$

$=\frac{d}{di}\cdot \frac{1}{x_r-x_e}\frac{v^{x_r-x}l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{l_x}$

$=\frac{d}{di}\cdot \frac{1}{x_r-x_e}\frac{(1+i)^{x-x_r}l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{l_x}$

合成関数の微分より

$=\frac{1}{x_r-x_e}\frac{l_{x_r}}{l_x}\left \{ {(x-x_r)(1+i)^{x-x_r-1}\ddot{a}_{x_r} }+(1+i)^{x-x_r}\frac{d\ddot{a}_{x_r}}{di}\right \}$ ・・・❶

となります。ここで

$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{t=0}^{\omega-x_r}v^t \cdot_tp_{x_r}=\sum_{t=0}^{\omega-x_r}(1+i)^{-t} \cdot_tp_{x_r}$ より

$\frac{d\ddot{a}_{x_r}}{di}=\sum_{t=0}^{\omega-x_r}(-t)(1+i)^{-t-1} \cdot_tp_{x_r}$ ・・・❷

❶に❷を代入すると

$\frac{1}{x_r-x_e}\frac{l_{x_r}}{l_x}\left \{ {(x-x_r)(1+i)^{x-x_r-1}\ddot{a}_{x_r} }+(1+i)^{x-x_r}\sum_{t=0}^{\omega-x_r}(-t)(1+i)^{-t-1} \cdot_tp_{x_r}\right \}$

これを整理すると

$\frac{d^UP_x}{di}=-v(x_r-x)\cdot^UP_x-\frac{v}{x_r-x_e}\cdot\frac{S_{x_r+1}}{D_x}$

がもとまります。

問題２　単位積立方式の保険料率の性質　★★★☆☆

Trowbridgeモデルの年金制度で加入年齢のx歳の加入者のy歳時の単位積立方式による保険料を $^UP_y^{\left [ x \right ]}$ とする。

$\sum_{x=x_e}^{x_r-1}\frac{1}{^UP_x^{\left [ x \right ]}}=\frac{\square _1}{N_{x_r}}(D\ddot{a})_{x_e:\overline{\square _2}|}$

□の１，２に当てはまる、計算基数、式を求めなさい。

【平成２５年　年金数理人】

◆解答解説

問題文よりｘ歳の保険料率は

$^UP_x^{\left [ x \right ]}=\frac{1}{x_r-x}\frac{N_{x_r}}{D_x}$

となります。

$\sum_{x=x_e}^{x_r-1}\frac{1}{^UP_x^{\left [ x \right ]}}=\frac{1}{N_{x_r}}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}(x_r-x)D_x$

ここで帳尻合わせを行うと、

$=\frac{D_{x_e}}{N_{x_r}}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}(x_r-x)\frac{D_x}{D_{x_e}}$ ・・・❶

となり、下記の累減年金の公式を用いると

$(D\ddot{a})_{x:\overline{n}|}=\frac{1}{D_x}\left \{ nD_x +(n-1)D_{x+1}+\cdot\cdot\cdot+D_{x+n-1}\right \}$

❶は

$=\frac{D_{x_e}}{N_{x_r}}(D\ddot{a})_{x_e:\overline{x_r-x_e}|}$

となります。

問題３　単位積立方式の保険料に関する正誤問題①　★☆☆☆☆

Trowbridge モデルの年金制度で定常状態のとき、下記の保険料関する式が正しいか検証しなさい。

$^UC=\frac{l_x\cdot{a_{x_r}}}{x_r-x_e}\times\frac{(1-v^{x_r-x_e+1})}{1-v}$

◆解答解説

$^UC=\frac{\ddot{a}_{x_r}}{x_r-x_e}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}}{D_x}$

$=\frac{l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{x_r-x_e}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}\frac{v^{x_r}}{v^x}$

$=\frac{l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{x_r-x_e}\times \frac{v(1-v^{x_r-x_e})}{1-v}$

となります。よって正しくない。

問題４　単位積立方式の保険料に関する正誤問題②　★★☆☆☆

単位積立方式の保険料$^UC$を退職時年金現価積立方式の保険料を用いて表しなさい。

$^UC=\frac{^TC}{\fbox{①}}a_{\overline{\fbox{②}}|}$

【wakuwaku math オリジナル】

◆解答解説

$^UC=\sum_{x=xe}^{x_r-1}l_{x}^{(T)}・^UP_x$

=$\frac{1}{x_r-x_e}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x^{(T)}・\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}$

=$\frac{l_{x_r}・\ddot{a}_{x_r}}{x_r-x_e}\sum_{x=x_e}^{x_r-1}v^{x_r-x}$・・・❶

ここで退職時積立方式の制度全体の保険料は、$^TC=l_{x_r}・\ddot{a}_{x_r}$より、

❶＝$\frac{^TC}{x_r-x_e}a_{\overline{x_r-x_e}|}$

となります。

1⃣上記の式は、財政方式の変更問題で用いられることがあります。

問題４　単位積立方式の積立金の正誤問題　★★☆☆☆

Trowbridge モデルの年金制度で定常状態のとき、各財政方式の積立金に関する式が正しいか検証しなさい。

$\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x+\sum_{x=x_r+1}^{\omega}l_x\frac{N_x}{D_x}+\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x^{(T)}\left ( \frac{x-x_e}{x_r-x_e} \right )\frac{N_{x_r}}{D_x}$

◆解答解説

検証の対象の式を見ると、単位ではなく

$\frac{x-x_e}{x_r-x_e}$

という形が見られるので、この形を含む $S^a_{PS}$ が出てくるように式変形を行っていきましょう。そういった考えのもと、

$^UF=S^p+S^a_{PS}$ ・・・❶

をまず考えます。ここで、受給権者の給付現価は

$S^p=B+v\sum_{x=x_r+1}^{\omega}l_x\frac{N_x}{D_x}$

$=\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x+v\sum_{x=x_r+1}^{\omega}l_x\frac{N_x}{D_x}$ ・・・❷

と変形できます。これを❶に代入し、

$^UF=\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x+v\sum_{x=x_r+1}^{\omega}l_x\frac{N_x}{D_x}+S^a_{PS}$

$=\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x+v\sum_{x=x_r+1}^{\omega}l_x\frac{N_x}{D_x}+\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x^{(T)}\left ( \frac{x-x_e}{x_r-x_e} \right )\frac{N_{x_r}}{D_x}$

となります。

1⃣この式は、２０２３年アクチュアリーの年金数理の試験で出題されています。

基本問題５　★☆☆☆☆　単位積立方式保険料と積立金の関係

Trowbrigeモデル(定常状態が成立)の下で、x歳( $x_e\leq x< x_r$ )の被保険者1人当たりの積立金 $V_x$ が

$V_x=\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_x}\cdot \ddot{a}_{x_r}$

で表される。このとき、財政方式が単位積立方式であることをx歳の被保険者の保険料を

与えられた積立金の式を利用することで求め、示しなさい。

◆解答解説

Trowbrigeモデルを前提に考えているという

ことは定常状態であるので、積立金＝責任準備金が成り立つ。

よって、一人当たりの積立金＝一人当たりの責任準備金も成り立つ。

ここで、ファクラーの再起式を用いると、

$V_x+P_x=vp_{x}\cdot V_{x+1}$ ・・・①

が成立する。この式を整理すると、 $P_x=vp_{x}\cdot V_{x+1}-V_x$ ・・・②となる。

ここで、②に与えられた条件式 $V_x=\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_x}\cdot \ddot{a}_{x_r}$ を代入すると

$P_x=vp_{x}\frac{x+1-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_{x+1}}\cdot \ddot{a}_{x_r}-\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_{x}}\cdot \ddot{a}_{x_r}$ ・・・④

が導ける。ここで、計算基数同士の関係式

$\frac{D_{x+1}}{l_{x+1}}=\frac{D_{x}}{l_{x}}v$ を変形した ${D_{x+1}}=\frac{D_{x}}{l_{x}}v\cdot {l_{x+1}}$ を④に代入すると、

$P_x=v\frac{l_{x+1}}{l_x}\frac{x+1-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\cdot l_{x}}{D_{x}v\cdot l_{x+1}}\cdot \ddot{a}_{x_r}-\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_{x}}\cdot \ddot{a}_{x_r}$

$=\frac{x+1-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_{x}}\cdot \ddot{a}_{x_r}-\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_{x}}\cdot \ddot{a}_{x_r}$

$= \left ( \frac{1}{x_{r}-x_{e}} \right )\cdot \left ( \frac{D_{x_{r}}\cdot \ddot{a}_{x_{r}}}{D_{x}} \right )={}^{U }\textrm{P}_{x}$ となり、

ｘ歳の一人あたりの保健料が単位積立方式の保険料になることがわかる。

上記の問題で扱った式

$V_x=\frac{x-x_e}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}}{D_x}\cdot \ddot{a}_{x_r}$

から単位積立方式の責任準備金、もしくは積立金が

過去の加入期間に対応する給付現価に一致することがわかります。

単位積立方式の責任準備金＝(過去の勤務期間/給付までの勤務期間)×給付現価

このような性質は重要なため、必ず覚えておきましょう。

問題６　Trowbrigeモデルでないときの積立金　★★☆☆☆

定年退職者のみに対し定年退職時に加入年数 𝑡 に応じて一時金額 𝑡 を支給する制度を考える。保険料の払い込みおよび給付の支払いは期初に行われるものとする。

財政方式を単位積立方式とした場合のこの制度の定常状態における期末の積立金として最も適切なものを次の選択肢から１つ選びなさい。

(A) $(x_r-x_e) / d$ 　(B) $a_{\overline{x_r-x_e}|}/d$

(E) $a_{\overline{x_r-x_e}|} l_{x_r}/d $ 　(F) $(ε_{x_r}-\ddot{a}_{x_r})l_{x_r}/d$

(G) $((x_r-x_e)-a_{\overline{x_r-x_e}|})/d$ 　(H) $((x_r-x_e)-a_{\overline{x_r-x_e}|})l_{x_r}/d$

【アクチュアリー　２０２２年　一部抜粋】

◆解答解説

保険料、給付総額を求め、極限方程式から、積立金を求めていく。定常状態というフレーズがヒントですね。

まずは、保険料から考えていきましょう。

単位積立方式の場合は、Trowbrigeモデルでない場合の問題は

退職者への支払い給付、つまり給付原資を考える必要があります。

給付原資は、$A=(x_r-x_e)\ddot{a}_{x_r}$のため、

ｘ歳の被保険者が払い込む保険料率は、

$^UP=(　\frac{1}{x_r-x_e}　)\frac{D_{x_r}}{D_x}　(x_r-x_e)=\frac{D_{x_r}}{D_x}$・・・❶

となります。これより、保険料総額は、

$ ^UC=\sum_{x=x_e}^{x_r-1} {^UP_x }l_x$

$\sum_{x=x_e}^{x_r-1}\frac{D_{x_r}}{D_x}l_x=\sum_{x=x_e}^{x_r-1}v^{x_r-x}l_{x_r}=\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}$・・・❷

となります。

また、給付現価は、退職者のみ給付があるので、

$B=(x_r-x_e)l_{x_r}$・・・❸

となる。

これより、定常状態における積立金は、保険料、給付ともに期初の極限方程式を考えると

$^UF=\frac{B}{d}-\frac{^UC}{d}$

$=(x_r-x_e)l_{x_r}-a_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}/d$

＝$(x_r-x_e)-a_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}/d$

となる。これより、解答は(H)となります。

問題７　Trowbrigeモデルでないときの積立金②　★★☆☆☆

定年退職者のみに対し定年退職から「加入年数 𝑡 に応じて年額ｔの終身年金」を支給する制度を考える。保険料の払い込みおよび給付の支払いは期初に行われるものとする。

財政方式を単位積立方式とした場合のこの制度の定常状態における期末の積立金として最も適切なものを次の選択肢から１つ選びなさい。

(A)$((x_r-x_e)-a_{\overline{x_r-x_e}|})l_{x_r}/d$　(B)$(x_r-x_e)-(ε_{x_r}-\ddot{a}_{x_r}))l_{x_r}/d$

(C)$(a_{\overline{x_r-x_e}|}-(ε_{x_r}-\ddot{a}_{x_r}))l_{x_r}/d$　(D)$(x_r-x_e)a_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}/d$

(E)$(x_r-x_e)(ε_{x_r}-\ddot{a}_{x_r})a_{\overline{x_r-x_e}}l_{x_r}/d$　(F)$(x_r-x_e)ε_{x_r}-\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}\ddot{a}_{x_r})l_{x_r}/d$

(G) $(x_r-x_e)ε_{x_r}-\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}ε_{x_e})l_{x_r}/d$　(H)$((x_r-x_e)\ddot{a}_{x_e}-{a}_{\overline{x_r-x_e}|}\ddot{a}_{x_r})l_{x_r}/d$

【アクチュアリー　２０２２年　一部抜粋】

◆解答解説

問題６と同様に、保険料総額、給付総額を求め、極限方程式から積立金を導きましょう。

単位積立方式におけるｘ歳の被保険者の払い込む保険料は、

$^UP_x=(\frac{1}{x_r-x_e}) \frac{D_{x_r}}{D_x} (x_r-x_e) \ddot{a}_{x_r}$

=$\frac{D_{x_r}}{D_x}\ddot{a_{x_r}}$

となります。これより、ｘ歳の被保険者が払い込む保険料総額は

$ ^UC=\sum_{x=x_e}^{x_r-1} {^UP_x} l_x$

=$\sum_{x=x_e}^{x_r-1}\frac{D_{x_r}}{D_x}\ddot{a}_{x_r}l_x$

=$\sum_{x=x_e}^{x_r-1}v^{x_r-x}\ddot{a}_{x_r}l_{x_r}=a_{\overline{x_r-x_e}|}\ddot{a}_{x_r}l_{x_r}$・・・❶

となります。

また、給付総額は、

$B=(x_r-x_e)\sum_{x=x_r}^{ω}l_{x}$・・・❷

となるので、❶、❷から定常状態における期末の積立金は、極限方程式より

$^UF=\frac{B}{d}-\frac{^UC}{d}$

=$((x_r-x_e)\sum_{x=x_r}^{ω}l_{x}-a_{\overline{x_r-x_e}|}\ddot{a}_{x_r}l_{x_r})/d$・・・❸

ここで$l_{x_r}$を共通因数としてそれぞれの項からくくりだすと

=$ ((x_r-x_e)\sum_{x=x_r}^{ω}\frac{l_x}{l_{x_r}}-a_{\overline{x_r-x_e}|}\ddot{a}_{x_r}) l_{x_r}/d $

=$((x_r-x_e)ε_{x_r}-a_{\overline{x_r-x_e}|})l_{x_r}/d$

となります。よって、解答は、(F)となります。

問題８　単位積立方式の責任準備金の性質　★★☆☆☆

定年退職者には脱退した年度の翌年度初から「脱退時の給与×加入年数×０・０４」の年金額

１０年の確定年金(年１回の期初払い)を支給する年金制度を考える。

このとき、ある被保険者１人(X年度初の年齢は３０歳、加入年数は５年、給与は１００万円)

のX年度初の責任準備金に最も近いものを選択肢の中から１つ選べ。

【計算の前提】

・財政方式：単位積立方式を採用

・定年年齢は４０歳

・新規加入は年1回期初に発生し、中途退職、定年退職による脱退は年１回期末に発生する

・死亡による脱退は発生しない(以下の基数表も生存脱退のみを表している。

・昇給は期末(脱退前に発生)し、予定昇給率はすべての年齢で３．０％

・予定利率は２．０％

・ $\ddot{a}_{\overline{10}|}=9.21111$

<基数表>

年齢(ｘ)	Dx
３０	１２０１．５５５２
４０	９９５．２５０５１

(A)２００万円　　(B)２５０万円　(C)３００万円　(D)３５０万円

◆解答・解説
単位積立方式の責任準備金は、過去の加入期間に対応する給付現価なので

$V_{x}=\frac{5}{15}\cdot\frac{D_{40}}{D_{30}}\cdot100\cdot(1+0.03)^{10}\cdot15\cdot0.04\cdot\ddot{a}_{\overline{10}|}$

=２９８．８９万円となるので、選択肢Cが正しい。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

アクチュアリー試験　合格へのストラテジー　年金数理 / 枇杷高志【本】
価格：3,520円（税込、送料別) (2024/4/14時点)

こちらの本では、単位について詳しく解説されています。

【年金数理】単位積立方式（Unit Credit Method）

「【年金数理】単位積立方式（Unit Credit Method）」への2件のフィードバック

コメントを残すコメントをキャンセル

【年金数理】単位積立方式（Unit Credit Method）

「【年金数理】単位積立方式（Unit Credit Method）」への2件のフィードバック

コメントを残す コメントをキャンセル

コメントを残すコメントをキャンセル