【年金数理】平均余命と平均加入年数①

今回は一般的に平均余命といわれる、完全平均余命についてみていきましょう。

生存数 $l_{x}$ をxに関する連続関数とみなしたとき、ｘ歳以上の総生存数を $T_{x}$ とすると、これを

$T_{x}=\int_{0}^{\omega-x}l_{x+t}dt$

と表すことができます。

同様に、仮に0歳以上の総生存数を $T_{0}$ とすると、これは

$T_{0}=\int_{0}^{\omega }l_{t}dt$

となります。

これは０歳から最終年齢までの生存数になるので、すべての生きている人の人数、総人口を表しています。

ここからは、完全平均余命という新しい概念についてついて学んでいきましょう。

完全平均余命はｘ歳の人があと何年いきることができるかどうかといった期待値を表したものであり、

x歳以上の生存数を用いることにより下記のようにあらわすことができます。

$\overset{\circ }{e_x}=\frac{1}{l_x}\int_{0}^{\omega -x}l_{x+t} dt =\frac{T_x}{l_x}$

この数理的な式の関係は非常に重要となってくるので覚えておきましょう。

また、

$\overset{\circ }{e}_{x_e}=\frac{1}{l_{x_e}}\int_{0}^{\omega -x_e}l_{x_e+t}dt=\frac{T_{x_e}}{l_{x_e}}$

これは、平均の加入年数ともとらえることができ、年金制度における平均加入年数といいます。

ここでこれらの公式を使った問題を見ていきましょう。

問題１★★☆☆☆　

・ $l_{x+t}=(0.8)^t*l_x$ 　(t≧0)　　・・・①

・ $l_{x+2}=1.28$ 　　　　　　　・・・②

が与えられたときに $T_{x+1}$ の値を求めなさい。

必要であれば $\log0.8=-0.0969$ 　を用いてもよいとする。【wakuwaku -math オリジナル問題】

◆解答＆解説

①の式でｔ＝２を考えてみると、 $l_{x+2}=(0.8)^2*l_x$ 　がなりたち、②より　 $1.28=0.64l_x$ 　となります。

これより $l_x =2$ が導かれます。これらを用いると、

$T_{x+1}=\int_{0}^{\infty}l_{x+1+t}dt=\int_{0}^{\infty}(0.8)^{t+1}l_xdt$

$T_{x+1}=2*(0.8)\int_{0}^{\infty}(0.8)^{t}dt$

となるのでこれを計算すると

$T_{x+1}=-\frac{1.6}{\log0.8}$

となるので18.575が答えになります。

問題２　★★☆☆☆

$K= \frac{\int_{t}^{\omega}2l_{x} dx}{\int_{0}^{\omega}l_{x} dx}$

を完全平均余命を使って表しなさい。

◆解答・解説

Kの分子を変形すると

$\int_{t}^{\omega}2l_{x} dx=2\frac{\int_{t}^{\omega}l_{x}dx}{l_{t}}\cdot l_{t}=2\overset{\circ }{e_x}\cdot l_{t}$

となる。同様に、Kの分母も変形すると

$\int_{0}^{\omega}l_{x} dx=\frac{\int_{0}^{\omega}l_{x}dx}{l_{0}}\cdot l_{0}=\overset{\circ }{e_0}\cdot l_{0}$

となる。これより、Kを変形すると

$K=\frac{2\overset{\circ }{e_t}\cdot l_{t}}{\overset{\circ }{e_0}\cdot l_{0}} =\frac{2\overset{\circ }{e_t}}{\overset{\circ }{e_0}}\cdot _tp_0$

となる。

問題３　★★☆☆☆　平均加入年数の問題

ｘ歳の被保険者が $l_x=4a-x$ 　(a≦ｘ≦３a), a＞０で表される定常状態に達した

企業年金制度があり、a歳の人が脱退するまでの平均加入年数は２４年となっている。

ある時点以降、この制度の新規加入者数が半分になってしまった。この時点からa年後

の被保険者の平均年齢は、定常状態であった時と比較すると、何歳か上昇している。

条件：新規加入者はa歳に限る。また、脱退率には変化がないものとする。

(１)aを求めなさい。　　　(２)被保険者の平均年齢は定常状態と比べると何歳上昇したか求めなさい。

【アクチュアリー年金数理　平成１５年　問題１　改】

◆解答解説

(１)

平均加入年数をまずは考えます。

$\overset{\circ }{e_a}=\frac{1}{l_a}\int_{0}^{3a -a}l_{a+t} dt =\frac{1}{l_a}\int_{a}^{3a}l_{y} dy$

$=\frac{1}{l_a}\left [ 4ax-\frac{1}{2}x^2 \right ]_{a}^{3a} =\frac{1}{3a}\left \{ 4a(3a-a)-\frac{1}{2}(9a^2-a^2) \right \}$

$=\frac{4}{3}a$

これが、２４と一致するため、 $a=18$ となります。

(２)

まずは定常状態における平均年齢について考えていく。

$\overline{X}=\frac{\int_{a}^{3a} y\cdot l_ydy}{\int_{a}^{3a}l_ydy}=\frac{11}{6}a$

それに対して、a年後の平均年齢は

$\overline{X}_{after}=\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{2a} y\cdot l_ydy+\int_{2a}^{3a} y\cdot l_ydy}{\frac{1}{2}\int_{a}^{2a}l_ydy+\int_{2a}^{3a}l_ydy}=2a$

これにより、 $\frac{1}{6}a$ だけ上昇していることとなる。これに(１)より $a=18$ を

代入すると、３歳上昇しているということがわかる。

問題３　連合生命における平均余命

(y),(z)がそれぞれ、$\mu_x=\frac{1}{a-x},(0≦x≦c)$に従うとき、$\overset{\small{○}}{e}_{\overline{yz}},(y＜z)$を求めなさい。

◆解答解説

被保険者(ｙ)と(ｚ)の２人のうち少なくとも１人が生き残る長さを求める問題。ただし、ｙ＜ｚという条件かｙはｚより早く亡くなることに注意が必要。

$\overset{\small{○}}{e}_{\overline{yz}}=\overset{\small{○}}{e}_y+\overset{\small{○}}{e}_z-\overset{\small{○}}{e}_{yz}$・・・❶

$_tp_y=\frac{a-y-t}{a-y}$/・・・❷

これより

$\overset{\small{○}}{e}_y=\int_{0}^{a-y}(1+\frac{t}{a-y})dt=\frac{a-y}{2}$・・・❸

となります。同様に

$\overset{\small{○}}{e}_z=\frac{a-z}{2}$・・・❹

が求まります。あとは、

$\overset{\small{○}}{e}_{yz}$を求めるだけになります。

$\overset{\small{○}}{e}_{yz}=\int_{0}^{a-z}{_tp_y・_tp_z}dt$・・・❺

を求めていきます。積分区間がa-zまでなのはｚのほうが年齢が高く、ｙよりも早く死亡する、つまり連合生命モデルが破られるのが先に死にやすいｚが死んだときとなるためです。

❺⇔$\int_{0}^{a-z}(1+\frac{t}{a-y})(1+\frac{t}{a-z})dt$

=$\int_{0}^{a-z}1-(\frac{1}{a-y}+\frac{1}{a-z})t+\frac{t^2}{(a-y)(a-z)}dt$

=$\frac{a-z}{2}-\frac{(a-z)^2}{6(a-y)}$・・・❻

となります。

これより、

$\overset{\small{○}}{e}_{\overline{yz}}=\frac{a-y}{2}+\frac{a-z}{2}-(\frac{a-y}{2}-\frac{(a-z)^2}{6(a-y)})=\frac{a-y}{2}+\frac{(a-z)^2}{6(a-y)}$

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