【生命保険数理】死亡に関する計算基数 Cx Mx Rxについて

by Yu
2024年4月2日2024年4月2日
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今回は、一時払保険料や年払い保険料、そして責任準備期の各種の保険価格について計算を簡略化するために用いられる計算基数について紹介します。

今回はそのうち、死亡に関する計算基数について考えていきましょう。

まず、定義式から紹介します。

$C_x=v^{x+1}d_x$

$M_x=C_x+C_{x+1}+C_{x+2}+\cdot \cdot \cdot +C_{\omega -1}$

$R_x=M_x+M_{x+1}+M_{x+2}+\cdot \cdot \cdot +M_{\omega -1}$

$M_x$ は $C_x$ のｘ歳から最終年齢までの和であり、同様に $R_x$ は $M_x$ のｘ歳から最終年齢までの和になっています。

なかなか式だけ見てもとっつきにくい分野ではあるので問題を見て理解してもらいましょう。

問題１　計算基数C　★☆☆☆☆　　

$D_{20}$ =37268 、 $D_{21}$ =35451のとき

$C_{20}$ の値を求めなさい。ただし、予定利率iは0.05とする。

◆解答解説

$C_x=v^{x+1}d_x=v^{x+1}(l_x-l_{x+1})=v\cdot v^xl_x-v^{x+1}l_{x+1}$ 　となるので、これより

$C_x=v\cdot v^xl_x-v^{x+1}l_{x+1}=vD_x-D_{x+1}$

が成り立つ。よって $C_{20}=vD_{20}-D_{21}$ を考えればいいので、v≒0.952381より

$C_{20}$ =0.952381×37268-35451=42.3333となる。

問題２　計算基数C②　★☆☆☆☆

$C_x=40$ , $D_{x+1}=36,000$

i=０．０４のとき、 $D_{x}$ を求めよ。

◆解答解説

$C_{x}=v^{x+1}d_x$ より、 $C_{x}=v^{x+1}(l_x-l_{x+1})$ と変形できるので、

ここから、 $C_x=vD_x-D_{x+1}$ となる。これを変形すると

$D_x=\frac{C_x+D_{x+1}}{v}$ という式が導けるため。これより $D_{x}$ を計算すると、

$D_{x}=37482$

となる。

次は計算基数の相互関係についてみていきましょう。

$M_x=C_x+C_{x+1}+\cdot\cdot\cdot C_{\omega-1}$ ・・・①

ここで、Cの計算基数を変形すると

$C_x=v^{x+1}d_x=v^{x+1}(l_x-l_{x+1})=vD_{x}-D_{x+1}$ ・・・②

が求まります。この②を用いtると

$M_x=vN_x-N_{x+1}$ ・・・③

といった関係が求まります。この関係式を用いることで計算速度を高めることができます。

また、③は

$vN_x-N_{x+1}=vN_x-(N_x-D_x)$

$=D_x-(1-v)N_x=D_x-dN_x$

と変形でき、

$M_x=D_x-dN_x$ ・・・④

と表記できます。

では、次は計算基数の変形についてみていきましょう。

問題３　計算基数の関係　★☆☆☆☆

予定利率i＝５．５％とする。

$D_{55}=4831.6$ , $N_{55}=64314.3$

の時に、 $M_{55}$ の値を求めなさい。

◆解答解説

ｄ＝i/(1+i) より、ｄ＝０．０５２１３２７０１４となります。

これより、

$M_x=D_x-dN_x$

を用いると、

$M_{55}=D_{55}-dN_{55}=4831.6-0.052317\times64314.3=1466.8688$

となります。

問題４　計算基数の変形　★★☆☆☆

$M_x=D_x-dN_x$ を用いて、 $M_x-M_{x+n}+D_{x+n}$ をD、Nの計算基数と割引率ｄだけを用いて

表しなさい。

【wakuwaku-math オリジナル問題】

◆解答解説

公式） $M_x=D_x-dN_x$ より

$M_x-M_{x+n}+D_{x+n}=D_x-dN_x-(D_{x+n}-dN_{x+n})+D_{x+n}$

$=D_x-d(N_x-N_{x+n})$

となります。

※余談ですが、こちらの $M_x-M_{x+n}+D_{x+n}$ はｘ歳以上の退職者(定年はx+n歳)への給付を表す式となっています。過去法に関する責任準備金の計算の際に上記のような式変形が要求されることがあります。

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