【生命数理】死亡法則　ゴムパーツの法則

by Yu
2019年3月30日2019年3月30日

今回、紹介するのは死亡法則の一つであるゴムパーツの法則です。この法則は１８２５年にゴムパーツが発表したもので、

特徴としては　死力が等比数列的に増大するという点です。これを式にすると

$\mu_x=Bc^x$

となります。ちなみにＢ、ｃはそれぞれ、Ｂ＞０、ｃ＞０パラメータとなります。

この死力の公式と死力と生存確率の関係式を用いると、

$_{t}^{ }\textrm{p}_x=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)$

$=exp(-\int_{0}^{t}Bc^{x+s}ds)=exp(-Bc^x\int_{0}^{t}c^sds)$

$=exp(Bc^x\frac{(1-c^t)}{\log c})$

と生存確率は表されます。

この法則はド・モアブルの法則より現実の値に近い値を出すことができます。特に高齢部分に対しては非常に正確な値を導けることが特徴だともいえます。

では、この法則に関する例題を解いて理解を深めましょう。

問題１　★★☆☆☆

死力が $\mu_x=Bc^x$ で表されるとき、 $p_{70}$ の値を求めなさい。ただし、 $p_{60}=e^{-0.06}$ 、 $p_{50}=e^{-0.03}$ とする。

さらに必要であれば $p_{60}=e^{-0.06}=0.94$ を利用してもよい。

解答解説

ゴムパーツの法則の生存確率の公式より

$p_{x}=_{1}^{ }\textrm{p}_{x}=exp(Bc^x\frac{(1-c^1)}{\log c})$

が導ける。これを下記のように変形すると

$exp(Bc^x\frac{(1-c^1)}{\log c})=e^{(Bc^x\frac{(1-c)}{\log c})} =(e^{(B\frac{(1-c)}{\log c})})^{c^x}$ となる。

Ｂ、ｃはそれぞれ定数なので、 $e^{(B\frac{(1-c)}{\log c})}$ も定数となる。これをｇとする。

これより、

$p_{x}=g^{c^x}$ となる。

これより、 $p_{60}=g^{c^{60}}=e^{-0.06}$ , $p_{60}=g^{c^{50}}=e^{-0.03}$

となる。これらの両辺に対数をとると、 $C^{60}\log g=-0.06$ , $C^{50}\log g=-0.03$ となる。

これらを除すると、 $C^{10}=2$ と導ける。

$p_{70}=g^{c^{70}}$ を変形すると $p_{70}=g^{c^{70}}=(g^{c^{60}})^{c^{10}}$ となります。

これに与えられた数値と $C^{10}=2$ を代入すると、

$p_{70}={(0.94)}^2=0.8836$ となる。

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