【生命数理】死亡法則　メーカムの法則

今回は死亡法則の一つのメーカムの法則について紹介します。

この法則は1890年にＷ．Ｍメーカムは、ゴムパーツの法則における死力に正の数の定数項Ａを付け加えると実際の生存率とよく適合することを発見したそうです。

【ゴムパーツの法則の死力】 $\mu_{x+t}=Bc^{x+t}$

【メーカムの法則の死力】 $\mu_{x+t}=A+Bc^{x+t}$

この法則もゴムパーツの法則と同様に高齢部分によく当てはまるという特徴があります。

では、この法則に関する問題を解いて理解を深めましょう。

問題1　★☆☆☆☆

メーカムの法則が成り立つときの生存率を求めよ。

※メーカムの法則の死力は $\mu_{x+t}=A+Bc^{x+t}$ であるものとする。

◆解答方針

生存率と死力の関係式

$_{t}^{ }\textrm{p}_x=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)$

を利用して、メーカムの法則の生存率を求めていく。

◆解答

$_{t}^{ }\textrm{p}_x=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)$ $=exp(-\int_{0}^{t}A+Bc^{x+s}ds)=exp(-\int_{0}^{t}Ads -\int_{0}^{t}Bc^{x+s}ds )$

となり、これの積分を解くと

【メーカムの法則の生存率】 $_{t}^{ }\textrm{p}_x=exp(-At+\frac{Bc^{x}}{\log{c}}(1-c^t))$

が導ける。

問題２　★★☆☆☆

死力がメーカムの法則 $\mu_{x+t}=A+Bc^{x+t}$ に従うとする。別の死力があり、その死力、生存率は

それぞれ ${\mu_{x}}'=\alpha \mu_{x}$ 、 ${_{t}^{ }\textrm{p}_x}'=_{t}^{ }\textrm{p}_{x+\beta }$ を満たすとする。ただしα＞１、β＞０は定数である。

このとき

(１)メーカムの定数Ａの値を求めよ。

(２)βをαとcを用いて表しなさい。

◆解答方針

生存率と死力の条件式が事前に与えられている。こういう場合、生存率から死力の別の表し方を導き、死力の条件式と連立し、問題を解いていくことが多い。

◆解答(１)

${_{t}^{ }\textrm{p}_x}'=_{t}^{ }\textrm{p}_{x+\beta }$ が成り立っているので、 ${\mu_{x+t}}'= \mu_{x+\beta +t}$ ・・・①が成り立つ。

また条件式より ${\mu_{x+t}}'=\alpha \mu_{x+t}$ ・・・②が成り立つ。①、②より ${\mu_{x+t}}'$ を消去すると、

$\alpha \mu_{x+t}=\mu_{x+\beta +t}$ が導ける。ここで、メーカムの法則の死力の式を適応すると

$\alpha (A+Bc^{x+t})=A+Bc^{x+\beta +t}$

$\alpha A+\alpha Bc^{x+t}=A+Bc^{x+t}\cdot c^\beta$

という式が導ける。これは恒等式より $\alpha= c^\beta$ 、Ａ＝０であるとわかる。

◆解答(２)

(1)の恒等式より $c^\beta=\alpha$ ・・・③が導ける。この両辺に底がｃの対数をとると

$\beta =\log_{c}\alpha$ であるとわかる。※底の変換公式を使って

$\beta =\frac{\log\alpha}{\log{c}}$

と表記してもよい。

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