【年金数理】平準積立方式 (Level Premium Method)

by Yu
2019年4月29日2024年2月24日

今回は財政方式の一つである平準積立方式についてご紹介します。

この財政方式は定常状態における財政方式の一つであり、在職中に年金を積み立てる

事前積立方式の一つでもあります。

この財政方式は在職中に一定額の保険料で積み立てを行うことを意識した

財政方式です。一人あたりの保険料は $_{ }^{L}\textrm{P}$ で表され、その数式は

$_{ }^{L}\textrm{P}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

で表されます。

また制度全体の保険料は、一人当たりの保険料 $_{ }^{L}\textrm{P}$ に在職中の被保険者Lを

乗じたものになるので

$_{ }^{L}\textrm{C}=_{ }^{L}\textrm{P}\cdot L$

となります。

積立金の式は年金受給者、在職中の被保険者の給付を積立金と在職中の被保険者の

保険料で支えるため、

$_{}^{L}\textrm{P}=S^p+S^a-_{}^{L}\textrm{P} \cdot G^a$

となります。

ここで、一人あたりの保険料の重要公式を問題を問題を通して

覚えていきましょう。

問題１　★☆☆☆☆　給付現価と平準積立方式の保険料率との関係

$_{}^{L}\textrm{P}=\frac{S^f}{G^f}$

がなり立つことを証明せよ。

◆解答・解説

$S^f=l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{N_{x_r}}{D_{x_e}}v\cdot \ddot{a}_\infty$

$G^f=l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}{D_{x_e}}v\cdot \ddot{a}_\infty$

より $S^f$ を $G^f$ で割ると

$\frac{S^f}{G^f}=\frac{N_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$ 　・・・①

が導けます。

$N_{x_r}=D_{x_r}\cdot\ddot{a}_{x_r}$ 　の関係があるため、①にこれを代入すると

重要公式

$_{ }^{L}\textrm{P}=\frac{S^f}{G^f}$

が導けます。

Point １

平準積立方式は他の5つのTrowbridgeモデルの年金制度と異なり、

毎年の一人当たり一定額を積み立てる。そのため、生命保険数理と同様に

収支相等の原則の式を立てて、一人当たりの保険料を求めることが容易である。

一定額の一人当たりの保険料を $_{ }^{L}\textrm{P}$ を積み立てるものとして

$_{ }^{L}\textrm{P}\cdot(D_{x_e}+D_{x_e+1}+\cdot \cdot \cdot +D_{x_r-1})=D_{x_r}\cdot\ddot{a}_{x_r}$

収支相等の原則から上記の式が立式できる。

問題２　★☆☆☆☆

Trowbridgeモデルに年金制度において、財政方式として平準積立方式により運営をする場合、

以下の問いに答えなさい。

(１)毎年１人当たり一定の額の保険料を $^LP$ とし、 $x_e$ 歳で新規加入する被保険者について成り立っている収支相等の原則を計算基数を用いて等式で表しなさい。

(２)定常状態における平準積立方式の積立金の額は、 $S^p+S^a-^LPG^a$ となることを極限方程式 $^LC+d^F=B$ を変形させて求めなさい。

【アクチュアリー年金数理　平成１２年　問３】

◆解答・解説

(１)

左辺をインフロー、右辺をアウトフローとし、収支相等の原則を考えると

$^LP(D_{x_e}+D_{x_e+1}\cdot\cdot\cdot D_{x_r-1})=D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}$

となるため、

$^LP=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_{x_e}}^{x_r-1}D_x}$ となります。

(２)最終的に積立金について考えていきたいので、極限方程式を積立金について整理しましょう。

$F=\frac{B-^LC}{d}=B/d--^LP(L/d)=S^p+S^a+S^f-^LP(G^a+G^f)$

$=S^p+S^a+S^f-^LPG^a-^LPG^f=S^p+S^a+S^f-^LPG^a-S^f$

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