【年金数理】加入年齢方式 (Entry Age Normal Cost Method)

今回は、平準積立方式に属する、定常状態に到達する前の違いにより四つに大別されている

財政方式の一つである、加入年齢方式について考えていきましょう。

加入年齢方式の標準保険料は

$_{ }^{E}\textrm{P}=_{ }^{L}\textrm{P}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

となっており平準積立方式の保険料と同じになります。

ただし、制度発足時に既に過去勤務期間を持つ被保険者においては、

この標準保険料だけでは不足債務が発生します。

この不足債務を未積立債務Ｕとし、様々な特別保険料の算出方法から

算出方法を選択し、別途特別保険料を払い込むことにより制度全体の収支を相等させます。

制度全体の標準保険料は

$_{ }^{E}\textrm{C}=_{ }^{L}\textrm{C}=L\cdot \frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

責任準備金は以下のようになります。

$_{ }^{E}\textrm{V}=S^p+S^a-_{ }^{E}\textrm{P}\cdot G^a$

では問題を解いて理解を深めていきましょう。

問題１　★★☆☆☆　　　標準保険料に関する問題

Trowbridgeモデルの年金制度を考える。以下の前提条件をもとに、年齢ｘ歳( $x_e\leq x \leq x_r$ )

を表す式を作り、空欄をうめなさい。

新規加入年齢： $x_e$ 歳　　定年年齢： $x_r$ 歳　　予定利率：i

新規加入年齢から定年年齢まで、定年以外の生存脱退および死亡脱退はないものとする。

ｘ歳の被保険者の１年間に払い込む単位積立方式の標準保険料と加入年齢方式の標準

保険料が等しくなる。

$x=x_e+\frac{\log \square _1-\log(x_r-\square _2)}{\log v}$

◆解答解説

単位積立方式の標準保険料は

$_{ }^{U}\textrm{P}_x=\frac{1}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}$

となっており、

また加入年齢方式の保険料は

$_{ }^{E}\textrm{P}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

となります。これらが等しいので

$\frac{1}{x_r-x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

$\frac{1}{x_r-x_e}\cdot \frac{1}{D_x}=\frac{1}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$ 　ここで両辺の逆数をとると

$({x_r-x_e})\cdot {D_x}={\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$ ・・・①が導けます。

死亡脱退はないので、年齢にかかわらず生存数は常に一定となるので、

$l_{x_e}=l_{x_e+1}=l_{x_e+2}=\cdot \cdot \cdot =l_{x_r-1}$ が成り立ちます。①の式の各年齢の

生存数を $l_{x_e}$ に統一し変形すると、

$({x_r-x_e})\cdot {v^xl_{x_e}}={\sum_{x=x_e}^{x_r-1}v^xl_x_e}$

⇔ $({x_r-x_e})\cdot {v^x}={\sum_{x=x_e}^{x_r-1}v^x}$

⇔ $({x_r-x_e})\cdot {v^x}=v^{x_e}\cdot \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}$

ここでｘについて整理するために下記のように変形すると

$v^x=\frac{v^{x_e}\cdot \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}}{x_r-x_e}$ ・・・②

この②の両辺に底がｖの対数をとると

$\log_vv^x=\log_v(\frac{v^{x_e}\cdot \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}}{x_r-x_e})$

⇔ $x=\log_v({v^{x_e}\cdot \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}})-\log_v({x_r-x_e})$

⇔ $x=\log_v({v^{x_e})+\log_v( \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}})-\log_v({x_r-x_e})$

⇔ $x= x_e +\log_v( \ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|})-\log_v({x_r-x_e})$

ここで底の変換公式を使うと

$x=x_e+\frac{\log\ddot{a}_{\overline{x_-x_e}|}-\log(x_r-x_e)}{\log v}$

がもとめられます。

問題２　★★☆☆☆　単位積立方式の保険料との比較

単位積立方式の保険料は、加入年齢から「定年年齢-１」までの間に

加入年齢方式の標準保険料と等しくなる場合がある。これを示せ。

なお、加入年齢＜「定年年齢-１」とする。

(２０１９年　アクチュアリー年金数理　改)

◆解答解説

解答方針

$^EP=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{ \sum_{y={x_e}}^{x_r-1}D_y}$ であり、ここで単位積立方式の標準保険料との関係を考える。

単位積立方式の保険料は $^UP_y=\frac{1}{x_r-x_e}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_y}$ となっており、共通部分は

$D_{x_r}\ddot{a}_{x_{r}}$ のため、この部分を切り口に、単位積立方式の標準保険料を変形していくとする。

両辺にDyを乗じ式変形すると

$^UP_yD_y=\frac{1}{x_r-x_e}{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}$

となる。この両辺に加入年齢から定年年齢-1までの和をとると

$\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_yD_y=\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}\frac{1}{x_r-x_e}{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}=\frac{x_r-x_e}{x_r-x_e}{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}={D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}$

となる。このため、

${D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}=\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_yD_y$

の関係が導かれる。これを、加入年齢方式の標準保険料に代入すると

$^EP=\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_yD_y}{ \sum_{y={x_e}}^{x_r-1}D_y}$

を導くことが出来る。 $^UP_y$ は単調増加であるので、

$\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_{x_e}D_y}{ \sum_{y={x_e}}^{x_r-1}D_y}< \frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_yD_y}{ \sum_{y={x_e}}^{x_r-1}D_y}< \frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1} {}^UP_{x_r-1}D_y}{ \sum_{y={x_e}}^{x_r-1}D_y}$

つまり、 $^UP_{x_{e}}< ^EP< ^UP_{x_{x_r-1}}$

が成立する。

◆連続的なモデルの加入年齢方式について

上記の説明や問題の場合は、離散的なモデルで加入年齢方式を考えましたが、被保険者の脱退、

保険料の払い込みおよび給付の支払が連続的に発生する場合の加入年齢方式について考えていきましょう。

$_{ }^{E}\textrm{P}=_{ }^{L}\textrm{P}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D_x}$

この場合の加入年齢方式の保険料は

$^EP=\frac{v^{x_r}l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\int_{x_e}^{x_r}v^t\cdot l_tdt}$

と考えることが出来るが、この形だと一般的に運用しづらい。死力や利力を利用して求めることも考えると

分母分子を $v^{x_e}l_{x_e}$ で除すると下記のように扱いやすい形に変形できます。

$^EP=\frac{v^{{x_r}-{x_e}}\cdot_{x_r-x_e}p_{x_e}\ddot{a}_{x_r}}{\int_{0}^{x_r-x_e}v^t\cdot _tp_{x_e}dt}$

$=\frac{e^{-\delta ({x_r}-{x_e})}\cdot_{x_r-x_e}p_{x_e}\ddot{a}_{x_r}}{\int_{0}^{x_r-x_e}e^{-\delta t}\cdot _tp_{x_e}dt}$

問題３連続的なモデルの加入年齢方式　★★★★☆

脱退・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度における単位時間あたりの１人あたりの標準保険料として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・加入年齢から定年年齢までの期間は４０年とする
・脱退者に対しては、加入年数×１万円を年金額とする２０年確定年金を、脱退時から支払うものとする
・給付額の算定に用いる加入年数は連続値をとるものとする
・利力 𝛿 は 𝛿 = ０.０２とする
・年齢 𝑥 歳における脱退力 $\mu_x=\mu$ (年齢によらず一定)とする

・加入年齢で加入した被保険者の脱退時平均加入年齢は利力δの連続払い６０年の確定年金現価率 $\overline{a}_{\overline{60}|}$ を用いて、 $\frac{\delta \overline{a}_{\overline{60}|}}{\mu}$ と表すことができるものとする。

＜諸数値＞

$e=2.718$ 　 $e^{0.2}=1.221$

(A)９．８万円　(B)１０．１万円　(C)１０．４万円　(D)１０．７万円　(E)１１．０万円

(F)１１．３万円(G)１１．６万円　(H)１１．９万円　(I)１２．２万円　(J)１２．５万円

【アクチュアリー　２０２３年　年金数理】

◆解答解説

収入現価部分を考えると

$^EP\cdot\int_{0}^{40}\frac{l_{x_e+\tau}v^{x_e+\tau}}{l_{x_ev^{x_e}}}d\tau=^EP\cdot\int_{0}^{40}\frac{l_{x_e+\tau}v^{\tau}}{l_{x_e}}d\tau$ ・・・❶

となり、給付現価部分を考えると

$\frac{\int_{0}^{40}\overline{a}_{\overline{20}|}\tau\cdot\mu_{x_e+\tau}l_{x_e+\tau}v^{x_e+\tau}d\tau+40\overline{a}_{\overline{20}|}l_{x_e+40}v^{x_e+40}}{l_{x_e}v^{x_e}}$

$=\frac{\int_{0}^{40}\overline{a}_{\overline{20}|}\tau\cdot\mu_{x_e+\tau}l_{x_e+\tau}v^{\tau}d\tau+40\overline{a}_{\overline{20}|}l_{x_e+40}v^{40}}{l_{x_e}}$ ・・・❷

となります。これら❶、❷は収支相等の原理により等しくなります。

ここで、死力が一定のため、加入年齢以降の年齢において

$\frac{l_{x+\tau}}{l_x}=_\tau p_x=e^{-\mu\tau}$ ・・・❸

が成り立ちます。また、

$v^{\tau}=e^{-\delta \tau}$ ・・・❹

といった関係から、❶(収入現価)の計算を行い、❸、❹を用いると

$^EP\frac{1-e^{-40(\mu+\delta)}}{\mu+\delta}$ ・・・❶’

が求まります。

また、❷(給付現価)は

$\frac{\mu+\left \{ 40(\mu+\delta)^2-40\mu(\mu+\delta)-\mu \right \}e^{-40(\mu+\delta)}}{(\mu+\delta)^2}\cdot\frac{1-e^{-20\delta}}{\delta}$ ・・・❷’

❶’=❷’を考え、標準保険料率について整理すると、

$^EP=\frac{\mu+\left \{ 40(\mu+\delta)^2-40\mu(\mu+\delta)-\mu \right \}e^{-40(\mu+\delta)}}{(\mu+\delta)\left \{ 1-e^{-40(\mu+\delta)} \right \}}\cdot\frac{1-e^{-20\delta}}{\delta}$