【年金数理】1年間の責任準備金・積立金の動き(被保険者の場合)

今回は、Troubridgeモデルかつ定常状態のある年金制度の1年間の責任準備金と積立金の動きについてみていきましょう。まず前提として、制度発足時の未積立債務は償却されているという仮定で話にを進めていきます。

 

◆年初に被保険者である被保険者の責任準備金の推移

ｘ()歳被保険者の責任準備金は、

\(V^a=S_x-PG_x\)・・・①

といった、将来の現価－将来の収入現価の形で表すことができます。

1年経過した後を考えると、歳までの被保険者であれば、給付はまだ発生せず、の値自体は変動しないです。ですが、年金開始までの期間が1年短くなるため、割引率を乗ずる数が１つ減ることになります。

このため、上記のように給付現価は単純に(１+i )倍に増加します。

 

一方、収入現価に関しては、保険料収入の元利分が減少し、年金開始期間まで１年短くなるため、将来の収入現価も（１+i ）倍に変化します。

 

これより責任準備金の変化は

・・・②

となります。

ここで、年初に被保険者である被保険者の責任準備金の①の式を用いると

\(ΔV^a=i・V^a＋(1+i)Pl_x=i・V^a＋(1+i)C\)・・・③

と表すことができます。

 

次に積立金の動きについてみていきましょう。

◆年初に被保険者である被保険者の積立金の推移

被保険者について、固有の積立金は基本的に計算はされないが、仮にあるとするとこれをとする。この被保険者の固有積立金に保険料収入が利殖された分が上乗せされるため、

\(F^a→F^a+(1+i)Pl_x\)

と積立金が変動します。

そのため、被保険者の積立金の変動額としては

\(ΔF^a=(1+i)Pl_x=(1+i)C\)・・・④

となります。

 

最後に被保険者の１年間の損益を考えてみましょう。

 

◆年初に被保険者である被保険者の損益の推移

ここで、１年間の被保険者における損益を(積立金-責任準備金)とすると

１年間の被保険者における損益＝積立金-責任準備金＝積立金の変動額-責任準備金の変動額

と考えることが出来ます。

損益をと表現できます。

 

では実際に問題を解いて理解を深めていきましょう。

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問題１

n年度初に定常状態であるTrowbridgeモデルの年金制度について考える。

ここで、１年間の財政運営が行われた場合の責任準備金、積立金の推移について

見ていこう。「１年間の責任準備金と積立金の推移」は期初に新規加入者が加入した直後

かつ保険料の払い込みと給付が発生する直前時点から、次のそれらが発生する直前までとする。

下記の資料の条件で、次の①～③までに当てはまる数値をそれぞれ求めなさい。

 

＜ｎ年度の財政状況：資料１＞
項目		n年度初
S^a	現在の被保険者の給付現価	2450
G^a	現在の被保険者の人数現価	3500
F	積立金	2550
P	被保険者一人当たりの標準保険料	0.2
i	予定利率	2.00%

＜n年度の１年間の収支：資料２＞
項目		n年度初
C	年金制度への保険料拠出額	500

	責任準備金の変動額	積立金の変動額	損益
現在の被保険者	①	②	③

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解答・解説

①について

現在の被保険者の責任準備金は

と表すことが出来る。またn年度の現在被保険者の責任準備金の変動額は

となる。年金制度への保険料拠出額は下記のように表記できるので

これより、となる。

表にある数値をそれぞれ代入すると

０．０２　×　（２，４５０－０．２　×　３，５００）＋１．０２×５００

＝５４５となります。　よって①は５４５

 

②について

積立金の変動ですが

のため、の関係式に数値を代入すると

１．０２×５００＝５１０となります。

 

最後に③ついてですが、

のため、②－①より、５１０－５４５＝－３５となります。

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問題２　責任準備金・積立金の推移(教科書問題)　★☆☆☆☆

Trowbridgeモデルで定常状態にあり、制度発足時に未積立債務の償却が終了している年金制度で１年間の財政運営が行われた場合における責任準備金と積立金の年間財政推移について考える。ここで「年間財政運営推移」を新規加入者の加入、保険料の払い込み、給付の支払いが発生する直前の時点から次のそれらが起こる直前までとし、「損益」を「積立金₋責任準備金」の変動額を意味することとする。財政方式は標準保険料を適用した標準保険料方式(開放型をふくむ)とする。

次の①～③に入る式をそれぞれもとめなさい。

１年間の財政運営で予定通り推移した場合の損益について考えていく。期初のｘ（）歳の被保険者にかかわる分(期初の新規加入者を含む)の１年間の責任準備金および積立金の変動について考えていく。

 

期初のｘ歳の被保険者にかかわる１年間の給付現価の増加分は①、

１年間の収入現価の増加分は②-③と表せるため、期初のｘ歳の被保険者に係る責任準備金の変動は①-②＋③と表せる。また１年間の積立金の変動は③と表せる。

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◆解答解説

期初のx歳の被保険者に係る１年間の給付現価は

という変動をするので、

①＝

となります。

１年間の収入現価は

より、

②＝

③＝

となります。

 

1⃣基本的な穴埋めの教科書問題。何回も反復的に演習し、なぜそうなるのかまで説明できるようにしておきましょう。