【年金数理】利力 (Force of interest)

今回は、年金数理・生命保険数理などで用いられる利力について考えていきましょう。

実利率と名称利率とでは、下記の関係式が成り立ちましたが、

$(1+i)=(1+\frac{i^{(k)}}{k})^{k}$

この両辺に自然対数をとると

$\log{(1+i)}=k\log(1+\frac{i^{(k)}}{k})$

となります。この右辺と左辺を入れ替え

$k\log(1+\frac{i^{(k)}}{k})=\log{(1+i)}$

次に両辺をｋで割ったのち、ネイピア数の指数を両辺にとると

$e^{\log(1+\frac{i^{(k)}}{k})}=e^{\frac{1}{k}\log{(1+i)}}$

となります。ここで $e^{\log{A}}=A$ の関係を活用すると、

$(1+\frac{i^{(k)}}{k})=e^{\frac{1}{k}\log{(1+i)}}$

となり、これを $i^{(k)}$ に関して整理すると、

$i^{(k)}=k\left \{ e^{\frac{1}{k}\log(1+i)} -1\right \}$

と名称利率を上記の形に変形することができます。

ここで、指数の展開式 $e^a=1+\frac{a}{1!}+\frac{a^2}{2!}+\cdot \cdot \cdot$ を利用すると

$i^{(k)}=k\left \{ \frac{1}{k}\log(1+i)+\frac{(\log(1+i))^2}{2k^2}+\cdot \cdot \cdot \right \}=\log(1+i)+\frac{(\log(1+i))^2}{2k}+$

となります。

ここで、k→∞としたときの極限値をδで表すと、

$\delta =\lim_{k\rightarrow \infty }i^{(k)}=\log(1+i)$

となります。

この極限値δは利力といいます。これはkをきわめて小さくしたときに転化期間1/kを非常に微小な転化期間⊿tとみなすことができ、この微小転化期間の間に生じる利息をδ・⊿tとし、年始の元金に対し⊿tごとに転化していった場合、年末の実利率がiになることを表しています。

ここから利力に関して重要な式について考えていきましょう。

利力の式 $\delta =\log(1+i)$ の両辺にネイピア数をとると

$e^\delta =1+i$ ・・・①

という式が得られます。ネイピア数と利力がわかっている状態から、

実利率を求めることができ、また実利率から利力も求めることが出来るといった

活用方法があります。

また、この式の逆数をとることで

$e^{-\delta} =v$ ・・・②

が得られます。これも同様に現価率から利力を、また逆に

利力から現価率を求めたい場面で利用することが出来ます。

$v^t=e^{-\delta {t}}$ ・・・③

これらの、①～③はδが極限値、つまりδが具体的な定数であるという条件のもとで成り立っている公式になります。

アクチュアリー試験、年金数理人試験では、特に指示がない限りは、利力δは定数である前提で問題が設定されているようです。

では、利力に関する問題を実際に見て理解を深めていきましょう。

問題１　利力に関する微分・利力の関係式　★☆☆☆☆

(１)下記の式をｖを用いて表しなさい。

$\frac{d\delta}{di}$

(２)下記の式をｖ、ｎを用いて表しなさい。

$\frac{dv^{n}}{d\delta}$

(３)下記の式をｖ、nを用いて表しなさい。

$\frac{dv^{n}}{di}$

◆解答解説

(１)

$\frac{d\delta}{di}=\frac{d\log(1+i)}{di}=\frac{1}{1+i}=v$ となる。

(２)

$\frac{dv^{n}}{d\delta}=\frac{d(e^{-n\delta})}{d\delta}=-ne^{-n\delta}=-nv^{n}$

(３) 　　(１),(２)より

$\frac{dv^{n}}{di}=\frac{dv^n}{d\delta}\frac{d\delta}{di}=-nv^{n}\cdot v=-nv^{n+1}$

◆利力が時間に依存する場合

今度は利力が時間依存する場合、つまり定数でない場合について考えていきましょう。

$S_t$ を時間経過によって増加する資産終価としたとき、１/m年後の元利合計は名称利率 $i^{(m)}$ を用いると

$S_{t+\frac{1}{m}}=S_t(1+\frac{i^{(m)}}{m})$ ・・・①

となります。これを名称利率について整理すると

$i^{(m)}=\frac{S_{t+\frac{1}{m}}-S_t}{\frac{1}{m}S_t}$ ・・・②

となります。ここで１/mをΔｔとすると

$i^{(m)}=\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{\Delta tS_t}=\frac{1}{S_t}\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{\Delta t}$ ・・・③

と表記できます。これのm→∞、つまりΔｔ→０の極限を考えると

$\lim_{m\rightarrow \infty }i^{(m)}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}i^{(m)}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{S_t}\frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{\Delta t}$

$=\frac{d}{dt}\log S_t=\delta _t$ ・・・④

となります。これより、利力δは時間を変数、もしくは引数としたものだとわかります。

また、④の式から、

$\frac{1}{S_t}\frac{dS_t}{dt}=\delta _t$

⇔ $\frac{dS_t}{dt}=S_t\delta _t$ ・・・⑤

⇔ $dS_t=S_t\delta _tdt$ ・・・⑥

となることがわかります。⑥の式は、利息のみの資産推移が、 $S_t\delta _tdt$ と等しいということを表しています。

これより、現在の資産を $S_0$ とすると

$S_t=S_0\cdot exp\left \{{\int_{0}^{t}\delta_sds } \right \}$ ・・・⑦

という関係性も求めることができます。

$S_0=S_t \cdot exp\left \{ -\int_{0}^{t}\delta_s ds \right \}$ ・・・⑧

これより、

$1+i=exp \left \{ \int_{0}^{1}\delta_sds\right \}$ ・・・⑨

$(1+i)^t=exp \left \{ \int_{0}^{t}\delta_sds\right \}$ ・・・⑩

$v^t=exp\left \{ -\int_{0}^{t}\delta_sds\right \}$ ・・・⑪

といった重要な関係式がもとめられる。これは、利力が一定であるときも成立します。

例えば、⑪の式に関しては、 $\delta _s=\delta$ (一定値)とすると、

$v^t=exp\left \{ -\int_{0}^{t}\delta ds\right \}=exp \left \{ -\delta \int_{0}^{t} ds\right \}$

$=e^{-\delta t}$

とよく見受けられる式が出てくることがわかります。

逆をいうと、 $v^t=e^{-\delta {t}}$ の公式は、利力δが一定であるという仮定の下で成り立っている公式のため、安直に使用できないという

欠点があることがわかります。

問題２　時間依存の利力　(１次の利力)　★★★☆☆

年金資産 $F_A$ の時刻ｔにおける利力は $\delta _t=a+bt$ ,年金資産 $F_B$ の時刻ｔにおける利力は $\delta '=g+ht$ である。この時、 $a>g>0$ ,

$h>b>0$ ,時刻ｔ＝０の時、年金資産 $F_A$ と年金資産 $F_B$ は等しく、時刻ｔ＝ｎの時も等しい。ｎは次のうちどれか

(A) $\frac{a-g}{h-b}$ 　(B) $\frac{2(a-g)}{h-b}$

【アクチュアリー　年金数理　平成２年】

◆解答解説

利力は時間の一次関数で表記されているので、Fも時間の関数である。

$\frac{d}{dt}\log S_t=\delta _t$ より、

年金資産は

$\frac{d}{dt}\log F_A(t)=\delta _t$

となります。ここで

⇔ $log F_A(t)=at+\frac{1}{2}bt^2+C$ (Cは積分定数)

⇔ $F_B(t)=e^{gt+\frac{1}{2}ht^2+C}$ となります。

同様に、

$F_B(t)=e^{gt+\frac{1}{2}t^2h+C}$

ここで $F_A(0)=F_B(0)$ より、C=０とわかります。これを代入し $F_A(n)=F_B(n)$ から、

$an+\frac{1}{2}bn^2=gn+\frac{1}{2}hn^2$

⇔ $a+\frac{1}{2}bn=g+\frac{1}{2}hn$

⇔n= $\frac{2(a-g)}{h-b}$

となります。よって、(Ｂ)が正しい。

1⃣２０１９年の年金数理人の問題１に同種の問題が出題されてます。

問題３　時間依存の利力　(２次の利力)　★★★★☆

年金資産 $F_A$ の時刻ｔにおける利力は $\delta_t^A=a+bt+ct^2$ ,年金資産 $F_B$ の利力は $\delta_t^B=f+gt+ht^2$ となっている。

( $a,b,c,f,g,h$ は定数で、 $a>f>0$ , $c>h>0$ ) .時刻ｔ＝０のとき、年金資産 $F_A$ 、年金資産 $F_B$ は等しく、その後の２時点

でも等しくなった。そのための不等式の条件と、２時点を $a,b,c,f,g,h$ を用いて、それぞれ求めなさい。

◆解答解説

利力は、時間に従うので

$\frac{d}{dt}\log S_t=\delta _t$

より、

$\frac{d}{dt}\log{F_A}(t)=\delta_t^A$

⇔ $F_A(t)=at+\frac{1}{2}bt^2+\frac{1}{3}ct^3+C$ 　(Cは積分定数)・・・❶

となる。同様に

$F_B(t)=ft+\frac{1}{2}gt^2+\frac{1}{3}ht^3+C'$ 　(C’は積分定数)・・・❷

ｔ＝０の時、❶と❷は等しくなるので、Ｃ＝Ｃ’とわかる。次に❶、❷が等しくなる２時点を考える。

❷-❶＝０を考えると

※定数の大小関係から❷から❶を引く

$\frac{1}{3}(c-h)t^3+\frac{1}{2}(b-g)t^2+(a-f)t=0$ ・・・❸

が求まる。ここで、ｔ＞０のとき、両辺をｔで除すると

$\frac{1}{3}(c-h)t^2+\frac{1}{2}(b-g)t+(a-f)=0$

ここで、二次方程式の解の公式を用いると

$t=\frac{-\frac{1}{2}(b-g)\pm \sqrt{\frac{1}{4}(b-g)^2-4\times\frac{1}{3}(c-h)(a-f)}}{2\times \frac{1}{3}(c-h)}$ ・・・❹

となり、この２解のときに年金資産は等しくなる。また、成立条件は根号内が０より大きくなるという条件を考えるので

$\frac{1}{4}(b-g)^2-4\times\frac{1}{3}(c-h)(a-f)>0$

⇔ $(b-g)^2>\frac{16}{3}(c-h)(a-f)$ ・・・❺

❺が成立条件であるとわかる。

1⃣この問題は、時間依存の利力の計算の流れを知っていないと、初見で難しく、また後半の計算に時間がかかるという点で★を４つをつけています。また、メタ的な視点にはなりますが、３次方程式の解の公式(カルダノの公式)の公式や４次方程式の解の公式(フェラーリの公式)の計算量が多くなるため、試験では、問題２、問題３の対策をこなしておけば問題ないと思われます。

【年金数理】利力 (Force of interest)

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