【年金数理】最終生存確率について

by Yu
2023年4月9日2024年4月30日

今回は、被保険者(ｘ)、(ｙ)のうちどちらかが生存している状態、最終生存状態に関する確率

についてみていきましょう。

(ｘ)、(ｙ)のどちらか一方が生存している状態を単生命の生存のようにとらえ、両者が

死亡した段階で、単生命の死亡と同じように見なす、生存者がいない状態を死亡とみなす

モデルを最終生存モデルといいます。

(ｘ)、 (ｙ)の生存確率を円としたとき、ベン図でいうと論理和にあたる部分になります。

一般的な最終生存モデルの確率についてみていきましょう。

◆最終生存モデルの確率

(ｘ)、(ｙ)のうちすくなくとも１人がt年間生存する確率は、

$_tp_{\overline{xy}}=_tp_x+_tp_y-_tp_{xy}$

と表します。

また、(ｘ)、(ｙ)の２人ともt年内に死亡する確率は、

$_tq_{\overline{xy}}=_{t}q_{x}\cdot _{t}q_{y}=(1-_{t}p_x)(1-_{t}p_y)$

と表記できます。

これらの最終生存確率と最終死亡確率の和は

$_tp_{\overline{xy}}+_tq_{\overline{xy}}=1$

の関係式が成り立ちます。

この最終生存確率において、注意すべき点としては、単生命、連合生命とはことなり

$_{s+t}p_{\overline{xy}}\neq _{s}p_{\overline{xy}}\cdot _{s}p_{\overline{x+t,y+t}}$

となる点です。では、どのように最終生存確率を求めるのかといえば、

$_{s+t}p_{\overline{xy}}=_sp_x\cdot_sq_y\cdot _tp_{x+s}+_sq_x\cdot_sp_y\cdot _tp_{y+s}+_sp_x\cdot_sp_y\cdot_{t}p_{\overline{x+s,y+s}}$

を利用することで求めることが出来ます。

問題１　★☆☆☆☆　　最終死亡率の公式

生存数が、 $l_x=1200-20x$

で表されるときに　(２０),　(２２)が１０年後に２人とも死亡する確率を求めよ。

解答解説

与えられた生存数の式より

$l_{20}=1200-20\cdot 20=800$ , $l_{22}=1200-20\cdot 22=760$

$l_{30}=1200-20\cdot 30=600$ , $l_{32}=1200-20\cdot 32=560$

(２０), (２２)の生存と１０年後の生存数をそれぞれ求める。

１０年後に２人とも死亡する確率なので、

$_{10}q_{\overline{20,22}}=(1-_{10}p_{20})(1-_{10}p_{22})=(1-\frac{760}{800})(1-\frac{560}{600})\approx 0.05\cdot0.066667$

となり、これを計算すると,０，００３３３３３

となります。

問題２　t～t+１年の間に死亡する確率　★★☆☆☆

８０歳と８１歳の者がいる。２年経過後の１年間で最終生存者が死亡する確率として最も近いものは次のうちいずれか。この２人はいずれも以下の死亡率に従い、２の死亡は互いに独立しているものとする。

$q_{80}=0.055$ , $q_{81}=0.061$ , $q_{82}=0.067$ , $q_{83}=0.078$

(A)１．０%　(B)１．３%　(C)１．６%　(D)１．９%　(E)２．２%

【年金数理人　平成２９年】

◆解答解説

今回は、

$_{t|}q_{\overline{xy}}=_{t|}q_{x}+_{t|}q_{y}-_{t|}q_{xy}$ ・・・❶

を用いて求めてきます。

$_{t|}q_{xy}=_tp_{xy}-_{t+1}p_{xy}$ ・・・❷

を❶に代入すると、

$_{t|}q_{\overline{xy}}=_{t|}q_{x}+_{t|}q_{y}-_tp_{xy}+_{t+1}p_{xy}$

となり、本問では

$_{3|}q_{\overline{80,81}}=q_{80}q_{81}p_{82}q+_{81}q_{82}p_{83}-p_{80}p_{81}p_{81}p_{82}+p_{80}p_{81}p_{81}p_{82}p_{82}p_{83}$

と各年齢の死亡率、生存率で表記できる。

これより、

$_{3|}q_{\overline{80,81}}=0.0191272382$ となるため、(D)が正しい。

1⃣期間[t,t+1]について最後の生存者が死亡する確率はほかにも

$_{t|}{q}_{\overline{xy}}=_tp_{\overline{xy}}-_{t+1}p_{\overline{xy}}$

$_{t|}q_{\overline{xy}}=_{t+1}q_{\overline{xy}}-_tq_{\overline{xy}}$

を用いても求めることができます。試験では数ある公式のうち、最も自分自身に使いやすいものを１つベースにもっておきましょう。

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こちらの本には最終生存モデルに関して、詳しく

記載されています。

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