【年金数理】３人以上の条件付生命確率

今回は以前の項目で考えた条件付生命確率をより複数人での被保険者の場合を考えてみましょう。

２人の場合と同様に観察期間[０，ｔ]において最初に(ｘ)が死亡する確率は

$_tq_{\overset{1}{x}yz}=\int_{0}^{t}{_sp_{xyz}\mu_{x+s}ds}$

となり、共存死亡率との間には

$_tq_{xyz}=_tq_{\overset{1}{x}yz}+_tq_{x\overset{1}{y}z}+_tq_{xy\overset{1}{z}}$

が成り立ちます。

次に観察期間[０，ｔ]の間に(ｙ)が死亡し、死亡した時点の前に(ｘ)は

すでに死亡しており、(ｚ)はその時点では生存している確率は

$_tq_{\underset{1}{x}\overset{2}{y}z}=\int_{0}^{t}{_sq_x_sp_{yz}\mu_{y+s}}ds$

となります。ｘの下に数字の１がかいてあるが、下にある数は『観察期間外で

起こっていてもよい』ということを表しています。

上記の例は、観察期間[０，ｔ]で考えたが有用性のある確率ではないため、

観察期間が[t,t+１]の場合を考えるのが一般的です。

$_{t|}q_{\underset{1}{x}\overset{2}{y}z}=\int_{t}^{t+1}{_sq_x_sp_{yz}\mu_{y+s}}ds$

次に、(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)の順で死亡が起こり、かつ(ｚ)の死亡が観察期間[t,t+１]の間で起こる

確率は

$_{t|}q_{\underset{1}{x}\underset{2}{y}\overset{3}{z}}=\int_{t}^{t+1}{_sq_{x\overset{2}{y}}\cdot_sp_{z}\cdot\mu_{y+s}}ds$

となります。この式では被積分関数部分において、 $_sq_{x\overset{2}{y}}$

が存在しており、積分計算が困難になってしまっています。

この積分式の有用性はのちに示す公式を求めるときに利用します。

そのため、計算し具体的に求める際は、

$_tq_{\underset{1}{x}\underset{2}{y}\overset{3}{z}}=_tq_{\underset{1}{x}\overset{2}{y}z}-_tq_{x\overset{2}{y}} \cdot_tp_z$

上記の式のように、

(ｘ)死亡→(ｙ)死亡→(ｚ)生存or死亡の確率から(ｘ)死亡→(ｙ)死亡→(ｚ)生存

を差し引き求めることが一般的です。

次に観察期間[t,　t+１]の間でｚの死亡が３番目に起こる確率について考えていきましょう。

この場合は、ｚ死亡時点で(ｘ)、(ｙ)のどちらも死亡しているため

下記のような式を考えます。

$_{t|}q_{{x}{y}\overset{3}{z}}=\int_{t}^{t+1}{_sq_{\overline{xy}} \cdot_sp_{z}\cdot\mu_{z+s}}ds$

またこの式は、 $_sq_{\overline{xy}}=_sq_{\overset{2}{x}y}+_sq_{x\overset{2}{y}}$ を代入すると

$_{t|}q_{{x}{y}\overset{3}{z}}=\int_{t}^{t+1}{_(_sq_{\overset{2}{x}y}+_sq_{x\overset{2}{y}})\cdot_sp_{z}\cdot\mu_{z+s}}ds$

となり、これから先ほど紹介した計算が困難な積分式を利用すると

$_{t|}q_{{x}{y}\overset{3}{z}}=_{t|}q_{\underset{2}{x}\underset{1}{y}\overset{3}{z}}+_{t|}q_{\underset{1}{x}\underset{2}{y}\overset{3}{z}}$

ともめることが出来ます。

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