【年金数理】連生年金と最終生存者連生年金について

この記事は、連合生命確率についての理解が必要です。

今回から２人以上の被保険者を結合して関連させたときに考える年金、連生年金について

考えていきましょう。

◆連生年金(共存モデル)

被保険者(ｘ)、(ｙ)が共存する限り支払う有期年金を連生有期年金といい、期初払い

期末払いの式をそれぞれ

期初払：　　　　 $\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}=\sum_{t=0}^{n-1}v^t _tp_{xy}$

期末払：　　　　 ${a}_{xy:\overline{n|}}=\sum_{t=1}^{n}v^t _tp_{xy}$

と表します。n→∞の場合は、連生終身年金となります。

期初払：　　　　 $\ddot{a}_{xy}=\sum_{t=0}^{\infty }v^t _tp_{xy}$

期末払：　　　　 ${a}_{xy}=\sum_{t=1}^{\infty }v^t _tp_{xy}$

次は、連生の分割払年金について考えていきましょう。

期初払：　　　　 $\ddot{a}_{\overset{(k)}{xy}:\overline{n|}}=\frac{1}{k}\sum_{t=0}^{nk-1}v^{\frac{t}{k}} \cdot_{\frac{t}{k}}p_{xy}$

$=\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}-\frac{k-1}{2k}(1-v^n\cdot_np_{xy})-\beta$

が得られる。

ここでのβは

$\beta=\frac{k^2-1}{12k^2}\left \{ \delta (1-v^n\cdot_np_{xy})+(\mu_{xy}-v^n\cdot_np_{xy}\mu_{x+n,y+n}) \right \}$

とします。

また、３名生命、加えてそれ以上の連合生命においても

３生命の場合

期初払:　　　　 $\ddot{a}_{xyz:\overline{n|}}=\sum_{t=0}^{n-1}v^t _tp_{xyz}$

期末払:　　　　 ${a}_{xyz:\overline{n|}}=\sum_{t=1}^{n}v^t _tp_{xyz}$

ｍ生命の場合

期初払：　　　 $\ddot{a}_{xyz\cdot \cdot \cdot (m):\overline{n|}}=\sum_{t=0}^{n-1}v^t _tp_{xyz\cdot \cdot \cdot (m)}$

期末払：　　　 ${a}_{xyz\cdot \cdot \cdot (m):\overline{n|}}=\sum_{t=1}^{n}v^t _tp_{xyz\cdot \cdot \cdot (m)}$

◆最終生存者連生年金

また、連合生命のうち誰か１人生存していることを生存とみる場合の年金についても考えていきましょう。

このような年金を最終生存者連生年金といます。

この年金の現価は、期初払、期末払それぞれ

期初払　　　　　　 $\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}=\sum_{t=0}^{n-1}v^t _tp_{\overline{xy}}$

期末払　　　　　　 ${a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}=\sum_{t=1}^{n}v^t _tp_{\overline{xy}}$

と表します。

ここで最終生存者確率の関係式である下記の式

$_tp_{\overline{xy}}=_tp_x+_tp_y-_tp_{xy}$ 　　を最終生存者連生年金の式に

代入し、整理するとそれぞれ

$\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}=\ddot{a}_{x:\overline{n}|}+\ddot{a}_{y:\overline{n}|}-\ddot{a}_{xy:\overline{n}|}$

${a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}={a}_{x:\overline{n}|}+{a}_{y:\overline{n}|}-{a}_{xy:\overline{n}|}$

が成り立ちます。

問題１　連合生命年金　★★☆☆☆

４生命(ｗ)、(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)について、４人がともに生存しているときは、４人とも１/４を、１人が死亡したときは残り３人が１/３ずつを、２人が死亡したときは残り２人が１/２ずつを、１人のみが生存しているときは、生存者が１を年金額として、期末に受け取るものとする。この時、(ｗ)が受け取る年金の現価はいずれか

【年金数理人　平成２８年】

◆解答解説

ｗのみが生存しているときは年金は１もらえる選択肢はすべて正しい。次に、ｗともう一人生存しているときは、１/２もらえる選択肢は、(Ｂ)、(Ｃ)、(Ｄ)と限定されます。全員生存しているときに、１/４になるのは、選択肢のＢのみなので、(Ｂ)が正しい。

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