今回も財政計画の範囲を被保険者集団に加えて、将来加入が見込まれる新規被保険者も含めた財政方式について考えていきます。このような将来加入が見込まれる新規被保険者も含めた財政方式型である開放型のうち、開放基金方式について考えていきましょう。
この開放基金方式は、開放型総合保険料方式と異なり、標準保険料に加えて、特別保険料の存在を念頭に置いた 保険料方式で標準保険料は将来の被保険者期間に対応する給付をまかなうための費用として考えます。
そのため、標準保険料率は
となります。
これは、単位積立方式の標準保険料率や将来、現在の被保険者について将来期間のみを給付対象とした開放型総合保険料方式の保険料率と一致します。
保険料は、
と表記できます。
また、責任準備金は
となります。定常状態ではこの式が成り立ちますが、責任準備金と
積立金を比較し、不足金がある場合は、特別保険料を別途考えていく必要があります。
ポイント
の時、特別保険料を考える。
問題１ ★★☆☆☆ 開放基金方式における特別保険料
※この問題は開放型総合保険料方式と償却方法に関しての理解が必要です。
開放基金方式において、未積立債務の償却を永久償却とした場合、標準保険料と特別保険料の
合計は、開放型総合保険料方式と同じになることを表しなさい。
ただし、被保険者集団は定常人口であるとする。
◆解答解説
開放基金方式の標準保険料率は
であり、未積立債務は、
となり、この未積立債務を償却するため、特別保険料率を考えるため
となるため、
と変形でき、標準保険料率と特別保険料率の合計は
となる。これは、過去、現在の被保険者、年金受給権者の集団に対し、過去期間を
完全通算した場合の開放型総合保険料方式の保険料率に等しい。
問題２ 開放基金方式の積立金 ★☆☆☆☆
Trowbridgeモデルの年金制度において、財政方式を開放基金方式によるものとすれば、定常状態における積立金\(^{OAN}F\)を表す算式は次のうちどれか。ただし、年金受給権者の給付現価を\(S^p\)とし、在職中の被保険者の給付現価\(S^a\)は、過去の加入期間に対応する給付現価\(S^a_{PS}\)、と、将来の加入期間に対応する給付現価\(S^a_{FS}\)に分離されるものとする。
(A)\(S^p\) (B)\(S^p+S^a_{PS}\) (C)\(S^p+S^a_{FS}\) (D)\(S^p+S^a\) (E)\(S^a\)
【アクチュアリー 年金数理】
◆解答解説
開放基金方式の保険料は
\(^{OAN}P=\frac{S^a_{FS}+S^f}{G^a+G^f}\)・・・❶
となっており、
これより開放基金方式の積立金は、
\(^{OAN}F=S^p+S^a+S^f-^{OAN}P(G^a+G^f)\)
へ❶を代入すると\(^{OAN}F=S^p+S^a_{PS}\)となる。これより、(B)が正しい。
問題３ 諸数値を用いて計算してみよう ★★☆☆☆
定常人口のもとにある年金制度の第n年度末の財政状況がつぎの状態にある。
・将来加入が見込まれる被保険者の給付現価 \(S^f: 5，000百万円\)
・在職中の被保険者の将来の加入期問に対する給付現価 \(S^a_{FS}:7，000百万円\)
・在職中の被保険者の過去の加入期間に対する給付現価 \(S^a_{PS}:10，000百万円\)
・年金受給権者の給付現価 \(S^p:10，000百万円\)
・将来加入が見込まれる被保険者の給与現価 \(G^f:210，000百万円\)
・在職中の被保険者の給与現価 \(G^a:270，000百万円\)
・積立金 F=15，275百万円
また、必要な場合は下記の20年確定年金現価率（期切払),永久年金現価率(期初払い)の値を用いてもよい。
\(\ddot{a}_{\overline{２０}|}=12.6\)
\(\ddot{a}_{∞}=19.2\)
なお、給付・保険料はいずれも年1回期切払いとする。
①定常人口であることを用いて、この年金制度の被保険者の総給与を求めよ。（百万円単位で小数点以下第1位を四捨五入）
②第n年度末時点で計算した開放基金方式による標準保険料率、特別保険料率（20年償却）を求めよ。（パーセント単位で小数点以下第2位を四捨五入）
③第n年度末時点で被保険者の1／2が脱退し被保険者の規模が1／2となったため、標準保険料率と特別保険料率（20年償却）の合計が②と変わらないように今後脱退する被保険者の給付水準（将来期問分・過去期間分）を一律x％引下げることとした。xを求めよ。（パーセント単位で小数点以下第1位を四捨五入）。
＜③の前提＞
・第n年度末の被保険者の脱退により、人員規模が1／2に縮小したが、被保険者の年齢階層毎の人員構成比は変化しなかった。
・第n年度末の被保険者の脱退に伴う計算基礎率の見直しは行わないが、将来加入が見込まれる被保険者の規模は、人員規模の縮小に伴い従前の1／2の見込みに変更した。
・第n年度末に脱退した被保険者は全員年金受給権者となり、過去の加入期問に対する給付現価を給付原資とした年金給付であった。
【アクチュアリー 平成１６年】
◆解答解説
①\(\frac{L}{d}=G^a+G^f\)より
\(L=480,000÷19.2=25,000\)となります。
②開放基金の標準保険料率は
\(^{OAN}P=\frac{S^a_{FS}+S^f}{G^a+G^f}\)より
12,000÷48,0000=0.025より、2.5％となる。次に特別保険料を求めるために、責任準備金、その後未積立債務を求める。
責任準備金は、\(^{OAN}V=S^p+S^a_{PS}=20,000\)となります。
これより、特別保険料率は
\(^{OAN}P’=\frac{20,000-F}{L・\ddot{a}_{\overline{２０}|}}\)
より、0.015と計算できる。これより、特別保険料率は、0.015となる。
※年金数理の問題では開放基金方式の保険料率を四捨五入し,調整された数値を用いて計算する場合があり、その場合は、\(^{OAN}V=S^p+S^a_{PS}\)は成りたたない。そういった場合は、丁寧に
\(S- {^{OAN}P}(G^a+G^f)\)を計算する必要があるというのも押さえておきましょう。
③脱退が起こった後は、計算をするための諸数値に変動が起こる。どのような変動が起こるかいったんまとめてみましょう。
給付現価に関しては、
\(S^f ‘=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^f\)
\(S^a_{FS} ‘=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^a_{FS}\)
\(S^a_{PS} ‘=\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})\)
\(S^p ‘ =S^p+\frac{1}{2}S^a_{PS}\)
となります。脱退が起こるので、年金受給権者の給付現価は、増加することに注意しましょう。
また、給与現価は、
\(G^f ‘= \frac{1}{2}G^f\)
\(G^a ‘=\frac{1}{2}G^a\)
となり、Lはこれらの給与現価から算出されるので、
\(L=\frac{1}{2}L\)
となります。
これらの諸数値を用いて、計算を標準保険料の計算を行っていく。
標準保険料率は、
\(^{OAN}P ‘=\frac{S^a_{FS} ‘+ S^f}{G^a ‘+G^f ‘}=(1-\frac{x}{100})^{OAN}P\)
となる。
責任準備金は
\(^{OAN}V=S^p+\frac{1}{2}S^a_{PS}+\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^a+\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^f-{^{OAN}P’}(\frac{1}{2}G^a+\frac{1}{2}G^f)\)
⇔\(^{OAN}V’=S^P+\frac{1}{2}S^a_{PS}+\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^a_{PS}\)
となります。これより、
特別保険料率は、
\(^{OAN}P ”= \frac{S^P+\frac{1}{2}S^a_{PS}+\frac{1}{2}(1-\frac{x}{100})S^a_{PS}-F}{L’\ddot{a}_{\overline{２０}|}}\)
ここで、xに関する部分とそれ以外の部分で切り分けをおこなう
\(^{OAN}P ”= 2{^{OAN}P’}-\frac{x/100×S^a_{PS}}{L・\ddot{a}_{２０}|}\)
となります。
また、与条件から標準保険料率、特別保険料率の和は脱退前後で変動しないので、
\(^{OAN}P+^{OAN}P’=^{OAN}P ‘+ ^{OAN}P”\)
⇔\(-\frac{x}{100}{^{OAN}P}+{^{OAN}P’}-\frac{x/100S^a_{PS}}{L・\ddot{a}_{\overline{２０}|}}\)
⇔\(x\frac{1}{100}(^{OAN}P+\frac{S^a_{PS}}{L・\ddot{a}_{\overline{２０}|}})=^{OAN}P’\)
となり、
\(x=\frac{0.015×100}{0.025+0.0317460317}=26.433566455\)
xはすでに百分率表示なので、x=２６となります。
問題４ 開放基金方式の責任準備金 ★★★★☆
Trowbridgeモデルの年金制度が開放基金方式にて運営されている。以下の計算基礎率などを前提とするとき、ｔ年度末の責任準備金の額に近いものは次のいずれか。
【基礎率】
・予定利率：４．０％
・新規加入者数の見込み：年度末における被保険者数の集団を定常人口にあるものと仮定し、以降の脱退が基礎率通りに推移するとした場合に、その被保険者数が年度末時点と同じになるように新規加入者数を見込む。なお、毎年度末において新規加入者数の見込みを再計算のうえ責任準備金を算定している。
・加入年齢：２０歳
・定年年齢：６０歳
・予定脱退率(死亡脱退を含む)：０％
【ｔ－１年度末の責任準備金】
・年金受給権者の責任準備金：０
・在職中の被保険者の責任準備金：４，２００
・将来加入が見込まれる被保険者の責任準備金：△５２０
【ｔ年度の推移】
・標準保険料(年１回期初払い)：３５０
・ｔ－１年度末の責任準備金の算定に使用した新規加入者数の見込み通りに、期初に新規加入者が加入。
・そのほかもすべて基礎率どおりに推移したが、定年退職者は発生しなかった。
(A)４，１７２ (B)４，１７８ (C)４、１８５
(D)４，１９１ (E)４，１９８
【アクチュアリー ２０２１年 問１１】
◆解答解説
ｔ－１年度末の責任準備金に関する情報から利殖なども考え、ｔ年度末の責任準備金がどのように変化するかを考えていく。
将来加入が見込まれる責任準備金から
\(\frac{V_{x_e}}{d}=-520\)
より、\(V_{x_e}=-20\)
これより、新規加入により責任準備金が減少することがわかる。
ここでt年度の在職中の被保険者の責任準備金はTrowbridgeモデルのため、給付、保険料収入は期初払いとわかるので、
\(V^a_t=(V^a_{t-1}+V_{x_e}+C-B)(1+i)\)・・・❶
という式が立式できます。年金受給権者の責任準備金がこの年度は０であり、そのほかもすべて基礎率通りに推移し、定年退職者が出なかったことからB＝０とわかるので、
\(V^a_t=(4,200-20+350-0)×1.04=4711,2\)
となる。
次に、
新規加入者数＝加入者総数/(脱退残総評による\(x_e\)の平均加入期間)から
新規加入者\(l_{x_e}=\frac{L_{t-1}}{e_{20}}\)となります。これより、t-1年度の責任準備金は、V_{20}’を２０歳一人当たりの責任準備金率を用いると
\(V^f_{t-1}=\frac{L_{t-1}}{e_{20}}・\frac{V_{20}’}{d}\)
となります。
ｔ年度は見込み通り加入し、脱退もないので、あらたに新規加入者分だけ加入者総数が増えるので
\(V^f_t=\frac{l_{x_e}+L_{t-1}}{e_{20}}・\frac{V_{20}’}{d}\)
ここで、\(x_e\)歳の平均加入年数は、脱退率が０のため、平均加入年数は\(e_20=40\)とわかるので、
\(V^f_t=(\frac{L_{t-1}/40+L_{t-1}}{40})V_{20}’\frac{1}{d}\)
=\(\frac{41}{40}×\frac{L_{t-1}}{40}V_{20}’\frac{1}{d}\)
ここで、\(\frac{L_{t-1}}{40}V_{20}’\frac{1}{d}=V^f_{t-1}\)
より
\(V^f_t=\frac{41}{40}(-520)=-533\)
となります。
よって
\(V_t=V^a_t+V^f_t=4178.2\)
ともとまりますので、（B）