【年金数理】死亡を条件に給付を開始する年金遺族年金・復帰年金

今回は、連合生命の年金制度において、ある人物の死亡を条件に給付を開始し、ほかの人物が生存している限り支払われる年金についてみていきましょう。

◆遺族年金について

２人の連合生命の場合、それぞれの被保険者を(ｘ)、(ｙ)とすると

(ｘ)、(ｙ)のうち(ｙ)の死亡を条件に給付を開始し、(ｘ)が生存している限り、毎年度初に支払う年金現価 $\ddot{a}_{y|x}$ は、下記のように表されます。

(ｙ)の死亡を条件に給付が始まる期初払年金現価率： $\ddot{a}_{y|x}=\ddot{a}_x-\ddot{a}_{xy}$

連続払いの場合も同様に

(ｙ)の死亡を条件に給付が始まる連続払いの年金： $\overline{a}_{y|x}=\overline{a}_x-\overline{a}_{xy}$

上記の(ｙ)、(ｘ)が夫婦であり、(ｙ)が夫、(ｘ)が妻の場合は、夫の死亡を条件に妻に年金が与えられる寡婦年金といいます。

また、(ｙ)、(ｘ)がそれぞれ親と子供の場合は、親の死亡を条件に遺児に年金が与えられる遺児年金といいます。

これらの寡婦年金・遺児年金をまとめて、遺族年金といいます。

問題１　遺族年金の公式確認　★★☆☆☆

下記の３つの式で誤っているものの個数を述べなさい。

① $\overline{a}_{y|x}=\ddot{a}_x-\ddot{a}_{xy}+\frac{1}{12}\mu_y$

② $a_{x|y}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{t=1}^{n}v^t(1-_tp_x)_tp_y$

③ $\ddot{a}_{x|y}^{(m)}=\ddot{a}_y^{(m)}-\ddot{a}_{xy}^{(k)}$

【wakuwaku-math オリジナル問題】

◆解答解説

①は正しい。まずは、基本の式を変形を考えます。 $\overline{a}_{y|x}=\overline{a}_x-\overline{a}_{xy}$

ここで

$\overline{a}_{x}=\ddot{a}_x-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}(\mu_x+\delta )$

$\overline{a}_{xy}=\ddot{a}_{xy}-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}(\mu_{xy}+\delta)=\ddot{a}_{xy}-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}(\mu_{x}+\mu_{y}+\delta)$

をそれぞれ用いると、

$\overline{a}_{y|x}=\ddot{a}_x-\ddot{a}_{xy}+\frac{1}{12}\mu_y$ となります。

②正しい。この式は、年金支払い時点の１つ１つでその時点における支払条件が満たされている状態の確率にその時点で支払われる年金現価 $v^t$ を乗じたものの合計であることから、正しいとわかります。

③正しい。

①～③のうち、三つ正しい。

問題２　遺族年金の公式確認　★★☆☆☆

次の４つの算式のうち、正しく $a_{x|y}$ を表しているものの数はいくつか。

① $a_{x|y}=\sum_{t=1}^{\infty}v^t\cdot_tp_y(1-_tp_x)$

② $a_{x|y}=a_y-a_{xy}$

③ $a_{x|y}=\sum_{t=1}^{\infty}v^t\cdot_tp_{\overline{xy}}$

④ $a_{x|y}=\sum_{t=1}^{\infty}v^t\cdot_tp_{y}-\sum_{t=1}^{\infty}v^t\cdot_tp_{y}\cdot_tp_{x}$

【アクチュアリー年金数理　平成９年】

◆解答解説

①は正しい。

②は正しい。

③ $_tp_{\overline{xy}}=_tp_x+_tp_y-_tp_{xy}$ より

$\sum_{t=1}^{\infty}v^t\cdot_tp_{\overline{xy}}=\sum_{t=1}^{\infty}v^t(_tp_x+_tp_y-_tp_{xy})$

$=a_x+a_y-a_{xy}=a_{x|y}+a_x=a_{y|x}+a_y$

より、間違い。

④は①を整理したもので、こちらも正しい。よって正しいものは３つとなります。

上記で紹介したように(ｘ)、(ｙ)だけでなくｘｙの共存が破れた際に(ｚ)に年金を支払うといった年金も考えることが出来ます。

こういった広義の遺族年金を復帰年金といいます。

ここからは、復帰年金について新たに考えていきましょう。

◆復帰年金について

(ｘ)が死亡を条件に毎年期初に、(ｙ)、(ｚ)が共存する限り支払う終身年金は

$\ddot{a}_{x|yz}=\sum_{t=0}^{\infty }v^t(1-_tp_x)_tp_{yz}$

$=\ddot{a}_{yz}-\ddot{a}_{xyz}$

が成り立ちます。ここから棒線の右側yzの連生終身年金から、すべてのxyzの連生終身年金を差し引くといった特徴が復帰年金にはあることがわかります。

これと同様に棒線の左側、つまりは(ｘ)と(ｙ)が共存が破れたのを条件に毎年期初に(ｚ)へ支払う終身年金は

$\ddot{a}_{xy|z}=\sum_{t=0}^{\infty}v^t(1-_tp_{xy})_tp_z$

$=\ddot{a}_z-\ddot{a}_{xyz}$

が成り立ちます。

◆最終生存を含む復帰年金

(ｘ)の死亡を条件に最終生存者に毎年期初に終身で年金を支払う場合は

最終生存を含む復帰年金１： $\ddot{a}_{x|\overline{yz}}=\ddot{a}_{\overline{yz}}-\ddot{a}_{x,\overline{yz}}$

また、最終生存の終身年金は $\ddot{a}_{\overline{yz}}=\ddot{a}_y+\ddot{a}_z-\ddot{a}_{yz}$ と

第２項は $\ddot{a}_{x,\overline{yz}}=\ddot{a}_{xy}+\ddot{a}_{xz}-\ddot{a}_{xyz}$ と変形できるので

最終生存を含む復帰年金２： $\ddot{a}_{x|\overline{yz}}=(\ddot{a}_y+\ddot{a}_z-\ddot{a}_{zy})-(\ddot{a}_{xy}+\ddot{a}_{xz}-\ddot{a}_{xyz})$

となります。ここで２つ目の最終生存を含む復帰年金の式の右辺の各項を移動し整理すると

$\ddot{a}_{x|\overline{yz}}=(\ddot{a}_y-\ddot{a}_{xy})+(\ddot{a}_z-\ddot{a}_{xz})-(\ddot{a}_{zy}-\ddot{a}_{xyz})$

となります。

これより、 $(\ddot{a}_y-\ddot{a}_{xy})=\ddot{a}_{x|y}$ . $(\ddot{a}_z-\ddot{a}_{zx})=\ddot{a}_{x|z}$ , $(\ddot{a}_{zy}-\ddot{a}_{xyz})=\ddot{a}_{x|yz}$ なので

$\ddot{a}_{x|\overline{yz}}=\ddot{a}_{x|y}+\ddot{a}_{x|z}-\ddot{a}_{x|yz}$

という式で表すこともできます。

問題３　多重脱退表における遺族年金　★★☆☆☆

年金額を次のように支払う場合、（ｘ）が受け取る年金の現価を表している式として最も適切
なものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)が３人とも生存している間は、１人当り毎年１００の年金額を期末に受け取る。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)のうち２人のみ生存している間は、1 人当り毎年１５０の年金額を期末に受け取る。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)のうち１人のみ生存している間は、１人当り毎年３００の年金額を期末に受け取る。

(A) $300a_x-150(a_{xy}+a_{zx})+100a_{xyz}$