【年金数理】昇給力と連続払いの年金制度

今回は、近年のアクチュアリーで出題されている連続払いの年金制度の問題について見ていきましょう。

『ティーレの微分方程式』でも少し紹介しました、昇給力について深堀していきましょう。

昇給力は

\(λ_x=\frac{d(log βx)}{dx}\)・・・①

といった形でアクチュアリーの過去問などで与えられることが多いです。この昇給力はいったいどのようなものなのでしょうか？

※\(β_x\)は給与指数を表しています。アクチュアリーの教科書では\(b_x\)で表記していますが、積分計算で出てくるdyとの区別をするために、この記事では、\(β_x\)といった表記を行っています。

 

先程の昇給力の両辺をzについて積分を行うと

\(\int_{0}^{x}λ_y dy=\int_{0}^{x} \frac{d (log βy)}{dy}dy\)・・・②

となります。これを計算すると、

\(\int_{0}^{x}λ_y dy=\log {\frac{β_x}{β_0}}\)・・・②

となります。これより、両辺の対数を取ると

\(e^{\int_{0}^{x}λ_y dy}=\frac{β_x}{β_0}\)・・・③

となります。

これより、給与指数\(β_x\)は

\(β_x=β_0・e^{\int_{0}^{x}λ_y　dy}\)・・・④

と表すことができます。

また、④を用いると

\(\frac{β_{x+t}}{β_x}=\large{\frac{β_0・e^{\int_{0}^{x+t}λ_y　dy}}{β_0・e^{\int_{0}^{x}λ_y　dy}}}\)

\(=e^{\int_{x}^{x+t}λ_y dy}=e^{\int_{0}^{t}λ_{x+s}ds}\)・・・⑤

と表記できる。

また、昇給力が一定のλを仮定すると

\(\frac{β_{x+t}}{β_x}=e^{λt}\)・・・⑥

という式を用いることができます。

連続払いの年金制度の問題の場合は、こちらを抑えておくと問題を理解するうえで助けとなります。

では問題を見ていきましょう。

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問題１　連続払いの加入年齢方式(昇給力あり)　★★★☆☆

脱退・昇給・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度の標準保険料率として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・標準保険料は被保険者の給与に対する一定割合として設定する
・加入年齢から定年年齢までの期間は40年とする
・給付は加入期間が 20年以上で脱退した場合に支払うものとし、中途退職による脱退時には脱退時給与を3倍した金額を脱退時に一時金として支給し、定年退職による脱退時には脱退時給与を3倍した金額を年金額として脱退時から10年確定年金を支給する
・利力 𝛿 は 𝛿 = 0.02とする
・年齢 𝑥歳における脱退力 \(μ_x\) は\(μ_x\) = 0.06（年齢に依らず一定）とする
・年齢 𝑥 歳における給与指数を\(b_x\)とする
・年齢 𝑥歳における昇給力 \(𝜆_𝑥\) は\(𝜆_𝑥 = \frac{d(log b_x)}{dx}\)= 0.03（年齢に依らず一定）とする
＜諸数値＞
\(e^{0.2} = 1.2214\)

\(e^{0.4} = 1.4918\)

\(e^{0.6}=1.8221\)

\(e^{0.8} = 2.2255\)

e = 2.7183
(Ａ) 0.06 (Ｂ) 0.11 (Ｃ) 0.16 (Ｄ) 0.21 (Ｅ) 0.26
(Ｆ) 0.31 (Ｇ) 0.36 (Ｈ) 0.41 (Ｉ) 0.46 (Ｊ) 0.51

【アクチュアリー　２０２０　問題１(８)】

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◆解答解説

連続型の加入年齢方式のため、

\(^E\overline{P}=\Large{\frac{3\int_{20}^{40}e^{(-δ-μ+λ)t}・μ　dt+3\overline{a}_{\overline{１０}|}e^{40(-δ-μ+λ)}}{\int_{0}^{40}e^{(-δ-μ+λ)}dt}}\)・・・❶

ここで-δ-μ+λ＝-0.02-0.06+0.03＝-0.05より

❶＝\(\Large{\frac{3(0.06×\frac{1}{(-0.05)}(e^{-2}-e^{-1})+3\frac{1-e^{-0.02×10}}{0.02}・e^{-2}}{1/(-0.05)(e^{-2}-1)}}\)・・・❶’

ここで、分母分子に\(e^{2}\)を乗じると

\(=3\frac{1.2×(e-1)+9.063369905}{20×(e^2-1)}\)
\(=\frac{33.375989716}{20×6.38915489}\)

=0.261192523≒0.26

よって(E)が正しい。

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問題２　連続払いの加入年齢方式(昇給力なし)　★★★☆☆

脱退・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度における単位時間あたりの１人あたりの標準保険料として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・加入年齢から定年年齢までの期間は40年とする
・中途脱退時の給付は、加入年数×20万円を一時金として支払うものとする。なお、定年到達による脱退時には加入年数×3万円を年金額として脱退時から15年確定年金を支払うものとする。
・給付額の算定に用いる加入年数は連続値をとるものとする
・利力 𝛿 は 𝛿 = 0.03とする
・年齢 𝑥 歳における脱退力 \(μ_x\) は\(μ_x\)= 0.08（年齢に依らず一定）とする
＜諸数値＞
\(e^{2.2}=9.0250\)
\(e^{0.45}=1.5683\)

(Ａ) 147,000円 (Ｂ) 149,000円

(Ｃ) 151,000円 (Ｄ) 153,000円

(Ｅ) 155,000円(Ｆ) 157,000円

(Ｇ) 159,000円 (Ｈ) 161,000円

(Ｉ) 163,000円 (Ｊ) 165,000円

【アクチュアリー　年金数理　２０２２年　問１(６)】

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◆解答解説

今回は昇給力がなく、脱退時給与とは無関係に給付が定められるので、問題１より簡単となっていますね。

では解答を見ていきましょう。

加入年齢方式のため、

\(^E\overline{P}=\Large{\frac{20\int_{0}^{40}μ・te^{(-δ-μ)t}dt+3×40×e^{40(-δ-μ)}\overline{a}_{\overline{１５}|}}{\int_{0}^{40}e^{(-δ-μ)t}dt}}\)・・・❶

❶の分母は、

\(\frac{1}{0.11}(1-e^{-4.4})\)

また、❶の分子は、

\(1.6\int_{0}^{40}te^{-0.11t}dt+120e^{-4.4}\frac{1-e^{-0.45}}{0.03}\)

\(=1.6(\frac{1}{0.11^2}-(\frac{40}{0.11}+\frac{1}{0.11^2})e^{-0.44}+120e^{-0.44}×10.7889647)\)

これより、

\(^EP=15.7318\)

となり、単位は万円なので、(F)

 

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問題３　連続払いの加入年齢方式(昇給力なし)②　★★★★☆

脱退・保険料の払い込み・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度における単位時間あたりの１人あたりの標準保険料として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

＜計算の前提＞
・財政方式は加入年齢方式を採用
・加入年齢から定年年齢までの期間は40年とする
・脱退者に対しては、加入年数×1万円を年金額とする20年確定年金を、脱退時から支払うものとする
・給付額の算定に用いる加入年数は連続値をとるものとする
・利力 𝛿 は 𝛿 = 0.02とする
・年齢 𝑥 歳における脱退力 \(μ_x\) は𝜇（年齢によらず一定）とする
・加入年齢で加入した被保険者の脱退時平均加入年数は、利力 𝛿の連続払の60年確定年金の年金現価率\(\overline{a}_{\overline{60}|}\)用いて,\(\frac{δ\overline{a}_{\overline{60}|}}{μ}\) と表すことができるものとする
＜諸数値＞
\(𝑒 = 2.718、𝑒^{0.2}= 1.221\)
(Ａ) 9.8万円 (Ｂ) 10.1万円 (Ｃ) 10.4万円 (Ｄ) 10.7万円 (Ｅ) 11.0万円
(Ｆ) 11.3万円 (Ｇ) 11.6万円 (Ｈ) 11.9万円 (Ｉ) 12.2万円 (Ｊ) 12.5万円

【アクチュアリー年金数理　２０２３　問１(３)】

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◆解答解説

今回の問題は、昇給力は与えられておらず、死力、利力を用いて問題を解いていくアクチュアリーの２０２２年の問題と同タイプの問題。

死力の具体的な値が不明のため、それを求める必要性があるということから、与条件を使っていくのではないかと方針を立てましょう。

 

まずは標準保険料率をもとめると

\(^EP\int_{0}^{40}v^t\frac{l_{x_e}+t}{l_{x_e}}=(\int_{0}^{40}tμ_{x_e+t}・v^t・_tp_{x_e}dt+40v^{40}・_{40}p_{x_e})・\ddot{a}_{\overline{２０}|}\)・・・❶

 

\(^{E}P=\frac{μ+(40(μ+δ)^2-40μ(μ+δ)-μ)e^{-40(μ+δ)}}{(μ+δ)^2}・\frac{1-e^{-20δ}}{δ}\)・・・❷

となる。

ここから死力の具体的な値を求めていく。

脱退時平均加入年数は

\(\int_{0}^{40} {_tp_{x_e}} dt\)

\(=\int_{0}^{40} e^{-μt}dt=\frac{1-e^{-40μ}}{μ}\)

となる。これは与条件より、

\(\frac{δ}{μ}\overline{a}_{\overline{60}|}\)

と等しくなるので、

\(e^{-40μ}=e^{-60δ}\)

となり、μ＝0.03とわかる。

 

これを❷に代入すると、\(^{E}P=11.939\)となるので、(H)が正しい。

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問題４　連続払いの年金制度の責任準備金(昇給力あり)　★★★★☆

次の①～⑮の空欄に当てはまる最も適切なものを算式群からそれぞれ１つずつ選びなさい。なお、解答にあたり、同じ記号を算式ぐんから重複して選んでもよいものとする。

脱退・昇給・保険料の払込・給付の支払いが連続的に起こる年金制度を考える。この年金制度は定常状態にあり、被保険者はいずれも\(x_e\)歳で加入し、定年年齢は\(x_r\)歳とする。なお、この年金制度における給付は、加入期間が\(\frac{n}{2}\)年以上\((n=x_r-x_e)\)で脱退した場合に行うものとし、脱退時給与をｓ倍した額(ｓは加入期間にかかわらず定率とする。)を原資に、脱退時から確定年金を支給する。

また、財政方式は加入年齢方式(特定年齢\(x_e\)歳)とする。

ここで、

δ：予定利率による利力

\(μ_x\)：年齢ｘ歳における脱退力

\(β_x\)：年齢ｘにおける給与指数

\(λ_x\)：年齢ｘにおける昇給力 \(λ_x=\frac{d(logβ_x)}{dx}\)

ｎ：加入年齢から定年年齢までの年数(\(n=x_r-x_e\))とする。

今、加入年齢から定年年齢までの、脱退力及び昇給力が年齢によらず一定であるものとする(それぞれμおよびλと定義し、μ＞λ＞δであるものとする）と保険料\(^EP\)は次のように表せる。

\(^EP=\frac{\int_{\fbox{①}}^{n}(\fbox{②}・A^τ)dτ+\fbox{③}}{\int_{0}^{n}A^τdτ}\)

なお、ここで、\(A＝\fbox{④}\)とする。

式を変形すると、

\(^EP=\frac{\fbox{⑤}+\fbox{⑥}}{1-\fbox{⑦}}\)

と表すことができる。

また、加入期間ｔ年の被保険者に係る単位給与当たりの責任準備金\(_tV_{x_e}\)は、t≧\(\frac{n}{2}\)の場合、Aおよび\(^{E}P\)を用いて、次のように表せる。

\(_tV_{x_e}=\frac{1}{A^{\fbox{⑧}}}{\int_{t}^{n}{(\fbox{⑨}-^EP)・A^{τ}dτ}+\fbox{⑩}}\)

式を変形すると

\(_tV_{x_e}=\frac{1}{\fbox{⑪}}{(\fbox{⑨}-^EP)+\frac{1}{1-\fbox{⑫}}(\fbox{⑬}+\fbox{⑭})A^{\fbox{⑮}}}\)

よって、(\(\fbox{⑬}+\fbox{⑭}\))＜0の場合、\(_tV_{x_e}\)はt≧\(\frac{n}{2}\)で単調減少となる。

【算式群】

(A)０　(B)ｎ　(Ｃ)\(\frac{n}{2}\)　(Ｄ)t

(Ｅ)n-t　(Ｆ)\(\frac{n}{2}-t\)　(Ｇ)δ　(Ｈ)δ+μ-λ

(Ｉ)(\(-\frac{1}{δ+μ-λ}\))　(Ｊ){-\(\frac{1}{μ-λ}exp(-δ)\)}　（Ｋ）{-\(\frac{1}{δ}exp(-δ+λ)\)}　(Ｌ)\(exp(-(δ+μ-λ))\)

(Ｍ)ｓ　(Ｎ)ｓμ　(Ｏ){-ｓ(λ-δ)}　(Ｐ)ｓ(δ+μ-λ)

(Ｑ)\(A^n\)　(R)\(s・A^n\)　(Ｓ)\(sμ・A^n\)　(Ｔ)\(-s(λ-δ)A^n\)

(Ｕ)\(s(δ+μ-λ)A^n\)　(V)\(A^{\frac{n}{2}}\)　(W)\(s・A^{\frac{n}{2}}\)　(W)\(s・A^{\frac{n}{2}}\)

(X)\(sμ・A^{\frac{n}{2}}\)　　(Y)\(-s(λ-δ)A^{\frac{n}{2}}\)　(Z)\(s(δ+μ-λ)A^{\frac{n}{2}}\)

【アクチュアリー　年金数理　平成２１年　問題２】

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◆解答解説

最終的にt年経過後の責任準備金を求めていく。そのため、ｔとτ(タウ)が区別されている。問題構成上、文字間違いのミスは起きにくいよう設計されてはいるが気を付けていきたい。

まず、Aについて考えていく。Aの形がわからないことには、\(^EP\)の分子の各空欄に何を入れればいいのかわからないので。

まず昇給力が与えられているため、インフローは

\(^EP・\int_{0}^{n}e^{(-δ-μ+λ)τ}dτ\)

となります。これより、\(A=e^{-δ-μ+λ}\)

よって、④=(Ｌ):\(exp(-(δ+μ-λ))\)

また、給付条件は加入期間が\(\frac{n}{2}\)年以上\((n=x_r-x_e)\)で脱退した場合に行うものとなっているので、

\(^EP=\frac{\int_{\frac{n}{2}}^{n}(sμ・e^{-δ-μ+λ}τ)dτ+s・e^{(-δ-μ+λ)n}}{\int_{0}^{n}e^{(-δ-μ+λ)τ}dτ}\)

となります。これより、

①＝(Ｃ)：\(\frac{n}{2}\)、②＝(Ｎ)：ｓμ、③＝(R)：\(s・A^n\)となります。

ここで、積分計算を行うと

\(^EP=\frac{sμ・e^{(-δ-μ+λ)・\frac{n}{2}}+(δ-λ)s・e^{(-δ-μ+λ)n}}{1-e^{(-δ-μ+λ)t}}\)

よって、

⑤＝(X)：\(sμ・A^{\frac{n}{2}}\)　、⑥＝(Ｔ)：\(-s(λ-δ)A^n\)、⑦＝(Ｑ)：\(A^n\)

また、t≧\(\frac{n}{2}\)の場合(将来法)の責任準備金についても同様に考えていくと

\(_tV_{x_e}=s・e^{(-δ-μ+λ)(n-t)}+\int_{t}^{n} sμ・e^{(-δ-μ+λ)(τ-t)}dτ-\int_{t}^{n} {^EP}・e^{(-δ-μ+λ)(τ-t)}dτ\)

\(=\int_{t}^{n}[(sμ-^EP)e^{(-δ-μ+λ)(τ-t)}]dτ+s・e^{-δ-μ+λ)(n-t)}\)

=\(\frac{1}{e^{(-δ-μ+λ)t}}{\int_{t}^{n}(sμ-^EP)e^{(-δ-μ+λ)τ}dτ+s・e^{(-δ-μ+λ)n}}\)

これより、⑧＝(Ｄ)：t、⑨＝(Ｎ)：ｓμ、⑩＝(R)\(s・A^n\)ということがわかります。

ここで、積分計算を行うと、

\(_tV_{x_e}=\frac{-1}{δ+μ-λ}(sμ-^EP)\frac{e^{(-δ-μ+λ)n}-e^{(-δ-μ+λ)t}}{e^{(-δ-μ+λ)t}}+\frac{1}{e^{(-δ-μ+λ)t}}s・e^{(-δ-μ+λ)n}\)

\(=\frac{1}{δ+μ-λ}[(sμ-^EP)(1-\frac{e^{(-δ-μ+λ)n}}{e^{(-δ-μ+λ)t}})+\frac{δ+μ-λ}{e^{(-δ-μ+λ)t}}s・e^{(-δ-μ+λ)n}]\)

\(=\frac{1}{δ+μ-λ}[(sμ-^EP)+(^EP+s(δ-λ))\frac{e^{(-δ-μ+λ)n}}{e^{(-δ-μ+λ)t}}]\)

ここで、

\(^EP=\frac{sμ・e^{(-δ-μ+λ)・\frac{n}{2}}+(δ-λ)s・e^{(-δ-μ+λ)n}}{1-e^{(-δ-μ+λ)t}}\)

を代入すると

\(=\frac{1}{δ+μ-λ}[(sμ-^EP)+(\frac{s(μ・e^{(-δ-μ+λ)\frac{n}{2}}+(δ-λ)e^{(-δ-μ+λ)n})}{1-e^{-δ-μ+λ}}+s(δ-λ))\frac{e^{(-δ-μ+λ)n}}{e^{(-δ-μ+λ)t}}]\)

\(=\frac{1}{δ+μ-λ}[(sμ-^EP)+\frac{(e^{-δ-μ+λ)(n-t)}}{1-e^{(-δ-μ+λ)n}}(sμe^{(-δ-μ+λ)\frac{n}{2}}+s(δ-λ))]\)

ここで与条件よりμ>λ>δより、μ+δ-λ>0であり、

\(e^{(-δ-μ+λ)}=A<1\)より、

\(sμ・e^{(-δ-μ+λ)\frac{n}{2}}+s(δ-λ)<0\)の時、\(_tV_{x_e}\)は\(t≧\frac{n}{2}\)で単調減少となります。

これより、

⑪＝(Ｈ)：δ+μ-λ、⑫＝(Ｑ)：\(A^n\)、⑬＝(X)：\(sμ・A^{\frac{n}{2}}\)、⑭＝(Ｏ)：{-ｓ(λ-δ)}、⑮＝(Ｅ)：n-tとなります。

 

◆解答まとめ

①(C)　②(N)　③(R)　④(L)　⑤(X)　⑥(T)　⑦(Q)　⑧(D)

⑨(N)　⑩(R)　⑪(H)　⑫(Q)　⑬(X)　⑭(O)　⑮(E)

※⑤、⑥および⑬、⑭の解答はそれぞれ逆でも正解