今回は、財政方式の変更について学んでみましょう。
定常状態になっている財政方式に変化を加えた場合についてみていきましょう。
定常状態において、今後ｔ年間、保険料をΔＣ増加した場合に
ｔ年後の積立金Ｆ’は、もともとの積立金に増加した保険料の年金終価
の和になるため
\F’=F+ΔC\ddot{s}_{\overline{t}|}\)・・・①
という式で表されます。保険料は、期初払いの場合を仮定しています。
これは、定常状態のもともとの積立金Fについて極限方程式が成り立っており、
ｔ年間での変動部分であるF’-Fは保険料の変化によって生じるため、
\(F’-F=ΔC\ddot{s}_{\overline{t}|}\)
を変形して求められるからです。
実際に問題を見ていきましょう。
問題１ 財政方式の変更 ★★☆☆☆
あるTrouwbrigeモデルの年金制度が定常状態にある被保険者集団に対し、
退職時年金現価積立方式により運営され、定常状態になっているものとする。
ここで、この制度において、ある年度から保険料をC-ΔC (ΔC＞０)に変更した。
その後、ｔ年間その保険料を継続することにより、積立金を減らしていくこととする。
その結果、n年度以降は賦課方式で運営できる積立金水準になった。このΔCを求めなさい。
◆解答解説
今回は保険料を減らしている。
退職時年金現価積立方式の保険料の変化値は変化後₋変化前から
となる。
ここで、保険料を減らしていき、退職時年金現価積立方式の積立金を保険料を
徐々に減らしていくことで、積立金が０の賦課方式に変化させていくため、
といった上記の式が成り立つ。
この賦課方式の保険料は年金制度の性質により０になるため、
と表すことが出来る。
問題２ 保険料と給付の比率 ★★★☆☆
年度初に保険料𝐶が払い込まれ、年度初に給付𝐵が支払われ、年度末の積立金𝐹である定常状態の企業の年金制度について考察する。次の（ア）、（イ）の各問について答えなさい。
（ア）この制度において、第 1 年度以降の保険料を𝛼𝐶（ただし、0 < 𝛼 < 1）とした。第𝑡年度末の積立金\(F_t\)について、成り立つ式として最も適切なものを次の選択肢から１つ選びなさい。ただし、予定利率は 𝑖 （ただし、𝑖 >0）、\(v=\frac{1}{1+i}\)とする。
(A)\(αC\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t-1}(vF-F_t)\)
(B)\(αC\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t-1}(F-F_t)\)
(C)\(αC\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t}(vF-F_t)\)
(D)\(αC\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t}(F-F_t)\)
(E)\((1-α)C\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t-1}(vF-F_t)\)
(F)\((1-α)C\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t-1}(F-F_t)\)
(G)\((1-α)C\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^{t}(vF-F_t)\)
(H)\((1-α)C\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^t(F-F_t)\)
（イ）（ア）の事象により、\(F_t\)が第15年度末に𝐹の(𝛼 + 1)/2倍を初めて下回った時に、𝐶/𝐵の値として最も近いものを次の選択肢の中から１つ選びなさい。ただし、予定利率は2.0％とする。また、必要であれば、次の諸数値を使用しなさい。
＜諸数値＞
\(1.02^5 = 1.104\)
(Ａ) 0.50 (Ｂ) 0.55
(Ｃ) 0.60 (Ｄ) 0.65
(Ｅ) 0.70(Ｆ) 0.75 (Ｇ) 0.80 (Ｈ) 0.85 (Ｉ) 0.90 (Ｊ) 0.95
【アクチュアリー ２０２３年 問２ (４)】
◆解答解説
極限方程式を考えると
\(F=(F+C-B)(1+i)\)が成立していることがわかる。
また、
第ｎ年度末の積立金を\(F_n\)とすると
第１年度においては\(F_1=(F+αC-B)(1+i)\)が成り立つ。
これより、第t年度末の積立金は
\(F_t=F+(α-1)C\ddot{s}_{\overline{t}|}\)・・・❶
ここで\(\ddot{s}_{\overline{t}|}=\frac{(1+i)((1+i)^t-1)}{(1+i)-1}\)より、
\(\ddot{s}_{t}=\frac{1}{v^t}・\frac{(1-v^t)}{d}=\frac{1}{v^t}\ddot{a}_{\overline{t}|}\)・・・❷
❷を❶に代入すると
\(F_t=F-(1-α)C\frac{1}{v^t}\ddot{a}_{\overline{t}|}\)
これを整理すると
\((1-α)C\ddot{a}_{\overline{t}|}=v^t(F-F_t)\)
となる。これより、(Ｈ)が正しい。
(イ)
❸の式の
\(F_t=F+(α-1)C\ddot{s}_{\overline{t}|}\)
の式のうち\(\ddot{s}_{\overline{t}|}=\frac{(1+i)^t-1}{d}\)を使って変形すると
\(F_t=F+(α-1)C\frac{(1+i)^t-1}{d}\)・・・❹
となります。ここで、\(F_t<\frac{α+1}{2}F\)を考えると
\(\frac{α+1}{2}F>F+(α-1)C\frac{(1+i)^t-1}{d}\)
⇔\(\frac{α-1}{2}F>(α-1)C\frac{(1+i)^t-1}{d}\)
ここでα-1は負の値であることに注意しつつ、両辺をα-1で除すると
⇔\(\frac{1}{2}F<C\frac{(1+i)^t-1}{d}\)
となる。次にFを消去していきたい。そのため、両辺にｄを乗じると極限方程式よりFの消去ができるため、
⇔\(\frac{1}{2}dF<C((1+i)^t-1)\)
⇔\(\frac{1}{2}(B-C)<C((1+i)^t-1\)
これより、
\(\frac{1}{2(1+i)^t-1}<\frac{C}{B}\)
となる。これを初めて満たすのはｔ＝１５の時が初めてなので、それまでは、
満たさないので
\(\frac{1}{2(1+i)^{15}-1}<\frac{C}{B}≦\frac{1}{2(1+i)^{14}-1}\)
⇔\(\frac{1}{1.691145728}<\frac{C}{B}≦\frac{1}{1.6383781647}\)
⇔\(0.59131509688<\frac{C}{B}≦0.61035969689\)
となります。よって(C)が解答だとわかります。
問題３ 退職時年金現価積立方式から加入時積立方式へ ★★★☆☆
Trowbridge モデルの年金制度が退職時年金現価積立方式により運営されており、𝑋年度末に定常状態であるとする。この年金制度の保険料を𝑋 + 1年度から10年間、定常状態時の保険料の𝑘(𝑘 > 1)倍とし、𝑋 + 11年度以降は加入時積立方式により運営したところ、𝑋 + 11年度初においても定常状態となった。このとき、𝑘の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、計算の前提は次のとおりする。また、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜計算の前提＞
・予定利率𝑖は3.0%
・加入年齢は20歳、定年年齢は60歳
・𝑋 + 1年度から10年間は計算基礎率どおり推移した
＜諸数値＞
\v^{10}=0.74409\) \((v=\frac{1}{1+i})\)
(Ａ) 2.0 (Ｂ) 2.5 (Ｃ) 3.0 (Ｄ) 3.5 (Ｅ) 4.0
(Ｆ) 4.5 (Ｇ) 5.0 (Ｈ) 5.5 (Ｉ) 6.0 (Ｊ) 6.5
【アクチュアリー 2024年 大問１(３)】
◆解答解説
最初のX＋１年度期初の積立金とX＋１１年度期初の積立金には以下の関係がある。
\(^{In}F=^{T}C+(α-1)^{T}C\ddot{s}_{\overline{１０}|}\)
ここで\(^{IN}F-{T}F=S^a(1+i)\)より、(※年金数理人２０２４年度入試参照)
\(S^a(1+i)=(α-1)^{T}C\ddot{s}_{\overline{１０}|}\)
となります。ここで\(\ddot{s}_{\overline{１０}|}=\frac{(1+i)((1+i)^n-1}{(1+i)-1}\)となります。よって
\(S^a・i=(α-1)・l_{x_r}・\ddot{a}_{x_r}((1+i)^n-1)\)
⇔\(\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_{x}^{(T)}・\frac{D_{x_r}・\ddot{a}_{x_r}}{l_{x}^{(T)}v^x}=(α-1)・l_{x_r}・\ddot{a}_{x_r}((1+i)^n-1)\)
となります。これより、
\((1-v^{40})=(α-1)(\frac{1}{v^{10}}-1)\)
となります。
0.3439234501(α-1)=0.6934496107
⇔α-1=2.0162905742⇔α≒3より(C)
1⃣同年度の年金数理人の解答を使うと、早く処理が可能になります。基本的に、試験前に同じ年度の年金数理人も解いておくのもいいと思います。