生命保険数理

【生命保険数理】責任準備金

by Yu
2025年4月24日2025年6月30日

今回は、生命保険数理のうち、責任準備金について見ていきましょう。 ◆責任準備金とは責任準備金は、将来の保険金支払いのために、保険期間で積み立てる負債となっています。そのため、会計上は下の図１のように貸借対象表においては… 続きを読む »【生命保険数理】責任準備金

【生命保険数理】終身保険

by Yu
2025年4月22日2025年4月22日

終身保険は被保険者が死亡した場合に死亡保険金が支払われる保険です。計算基数を用いて、 $A_x=\frac{M_{x}-M_{ω}}{D_x}$ で表すことができます。問題１終身年金と終身年金　★… 続きを読む »【生命保険数理】終身保険

【生命保険数理】医療保険の数理①

by Yu
2025年3月4日

今回は、医療保険の数理について考えていきましょう。医療保険について説明のために、疾病で入院する場合を例に説明していきます。疾病により入院する場合、入院の日数に伴い日額を給付する保険を入院日額給付保険とい… 続きを読む »【生命保険数理】医療保険の数理①

【生命保険数理】元利均等返済について

by Yu
2025年1月5日2025年5月28日
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今回は債務の返済方法について学習してみましょう。債務の返済において、返済方法は多岐にわたりますが、毎期同額となる様な返済方法があり、これを元利均等返済といいます。また、この時の毎回の返済額を均等返済金といいます。ここで… 続きを読む »【生命保険数理】元利均等返済について

【年金数理】脱退時平均年齢について

by Yu
2024年12月3日2024年12月3日

今回は以前紹介した平均余命の考えを踏まえて、脱退時平均年齢について学習していきましょう。ｘ歳の完全平均年齢はｘ歳以上の生存数Txを用いると下記のようにあらわすことができました。定常状態の開集団において、… 続きを読む »【年金数理】脱退時平均年齢について

【生命保険数理】死亡に関する計算基数 Cx Mx Rxについて

by Yu
2024年4月2日2024年4月2日
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今回は、一時払保険料や年払い保険料、そして責任準備期の各種の保険価格について計算を簡略化するために用いられる計算基数について紹介します。今回はそのうち、死亡に関する計算基数について考えていきましょう。ま… 続きを読む »【生命保険数理】死亡に関する計算基数 Cx Mx Rxについて

【年金数理】死亡法則　ド・モアブルの法則

by Yu
2023年2月23日2023年3月2日
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この記事を読むためには高校数学２の微分、高校数学Ｂの数列、生存数に関する事前理解が必要になります。今回は、死亡の法則の一つである1725年にド・モアブルの発見した死亡の法則について考えていきましょう。こ… 続きを読む »【年金数理】死亡法則　ド・モアブルの法則

【年金数理】2人の条件付生命確率

by Yu
2022年4月5日2023年5月7日

今回は、2人以上の連合生命において、死亡の順序に関係して定まるような確率、条件付生命確率について考えていきましょう。

条件付生命確率とは、2人以上の連合生命について死亡の順序に関係して定まる確率の事をいいます。

ここで、注意しなくてはならないのは、連生生命確率や最終生存確率とやや違い、死亡という事由を

中心に考える点にあります。

まずは(x)がｔ年内に死亡し、その瞬間に(y)が生存している確率について考えていきましょう。

これは、観察期間[０，ｔ]の間において、注目するので、表記の仕方は下記のようになります。

$_tq_{\overset{1}{x}y}=\int_{0}^{t}{_sp_{xy}\mu _{x+s}ds}$

ここでt→∞とすると、観察期間は[０，∞]となるので、式は下記のようになる。

$_{\infty }q_{\overset{1}{x}y}=\int_{0}^{\infty }{_sp_{xy}\mu _{x+s}ds}$

となります。

これは、(ｘ)が(ｙ)に先立って死亡する確率ととらえることができます。

xの上にある数字の1は(ｘ)の死亡が1番目であり、観察期間内にこの(ｘ)の先だった死亡が起きることを

表しています。

これらの先立って死亡する確率にはそれぞれ

$_tq_{\overset{1}{x}y}+_tq_{x\overset{1}{y}}=_tq_{xy}$

$_{\infty}q_{\overset{1}{x}y}+_{\infty }q_{x\overset{1}{y}}=_{\infty}q_{xy}=1$

という式が成り立ちます。(証明は問題２を参照)

それでは問題を見ていきましょう。

問題１　★☆☆☆☆　相関関係式の利用問題

$_{\infty}q_{\overset{1}{x}y}=0.4$

の時に、 $_{\infty }q_{x\overset{1}{y}}$ を求めよ。

解答

$_{\infty}q_{\overset{1}{x}y}+_{\infty }q_{x\overset{1}{y}}=1$

より、 $_{\infty }q_{x\overset{1}{y}}=1-_{\infty}q_{\overset{1}{x}y}$ が成り立つので、 $_{\infty }q_{x\overset{1}{y}}=1-0.4=0.6$ となる。

問題２　★☆☆☆☆ 公式の証明問題

$_tq_{\overset{1}{x}y}+_tq_{x\overset{1}{y}}=_tq_{xy}$

を証明しなさい。

解答

$_tq_{\overset{1}{x}y}+_tq_{x\overset{1}{y}}=\int_{0}^{t}{_sp_{xy}\mu _{x+s}ds}+\int_{0}^{t}{_sp_{xy}\mu _{y+s}ds}$

$=\int_{0}^{t}{_sp_{xy}(\mu _{x+s}+\mu _{y+s})ds}=\int_{0}^{t}{_sp_{xy}\mu _{x+s,y+s}ds}$

$=\int_{0}^{t}{_sp_{xy}\mu _{x+s,y+s}ds}=_tq_{xy}$

と変形できる。

問題３　★★☆☆☆　条件付生命確率の公式

死力が

$\mu_x=\frac{1}{80-x}$ 　(０≦ｘ＜８０)

の時、 $_{10}q_{\overset{1}{40},50}$ の値を簡単な分数の形で求めよ。

解答

$_{10}q_{\overset{1}{40},50}=\int_{0}^{10}{_sp_{40,50}\mu _{40+s}ds}$

を求めればいい。いま、わかっている情報が死力のみなので、ここで

$_tp_x=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)$

$=exp(-\int_{0}^{t}\frac{1}{80-x-s}ds)=1-\frac{t}{80-x}$

より、

$_{10}q_{\overset{1}{40},50}=\int_{0}^{10} \frac{40-t}{40}\cdot\frac{30-t}{30}\cdot \frac{1}{40-t} ds$

$=\frac{5}{24}$

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【生命保険数理】Thieleの微分方程式

by Yu
2022年3月1日2022年3月1日
2件のコメント

今回は、ティーレの微分方程式について紹介します。この微分方程式は責任準備金の微小区間での挙動を決定する微分方程式で　　①　という形で表されます。この微分方程式はデンマークの数学者・天文学者のトルバルド・ティエレが… 続きを読む »【生命保険数理】Thieleの微分方程式

【年金数理】平均余命と平均加入年数①

by Yu
2022年2月8日2024年9月26日

今回は一般的に平均余命といわれる、完全平均余命についてみていきましょう。生存数をxに関する連続関数とみなしたとき、ｘ歳以上の総生存数をとすると、これをと表すことができます。同様に、仮に0歳以上の総生存… 続きを読む »【年金数理】平均余命と平均加入年数①