今回は、束の公理、そしてイメージしずらい吸収律について解説します。
まず、束の定義から見ていきましょう！
二つの演算が定義されている代数系（Ｌ；+,・）が次の三つの条件を満たすとき、この代数系Ｌを束（lattice）という。ここで、代数系の任意の元（要素）ｘ、ｙ、ｚに対して、
ｘ+（ｙ+ｚ）＝（ｘ+ｙ）+ｚ ①
ｘ・（ｙ・ｚ）＝（ｘ・ｙ）・ｚ ② （結合律）
ｘ+ｙ＝ｙ+ｘ ①
ｘ・ｙ＝ｙ・ｘ ② （交換律）
ｘ・（ｘ+ｙ）＝ｘ ①
ｘ+（ｘ・ｙ）＝ｘ ② （吸収律または簡約律）
束の演算記号として今は+、・を用いて表していますが、+を∨（または）で表し、・を∧（かつ）で表す場合も多いです。この∨、∧は論理演算記号の表示の仕方になります。
また、集合論や集合演算の分野では+を⋃で、・を⋂で表します。
ここで、束で定義されている+（加法）と・（乗法）は、小学校から高校で扱う計算方法（体上の演算）とは大きく異なり、集合でいう和集合や共通部分が束で定義されている+、・に対応していることに気づいてほしいです。吸収律を見て通常の計算の+、・と異なることに気づいた方も多いかもしれませんね。
吸収律のイメージとしては下記の図を見ていただければわかると思います。
ここで話を戻しますが、束の結合律、交換律、そして吸収律については理解してもらったと思います。
これら三つの条件を束の公理といい、これらの条件の式の①と②を縦にみてもらうとわかると思うのですが、＋と・を入れ替えても式が成立することがわかると思います。
なのでこれらの公理から得られる結果というのは、＋と・を入れ替えても同じように式が成立します。
これを束における双対原理といいます。