今回は中学受験でおなじみの葉状図形の面積について解説します。
上の図形は正方形の中に中心角が９０°の扇型を重ね合わせたものです。
この図形の面積は円周率が３．１４としたとき、
取り囲んでいる正方形の面積×０．５７(葉状図形求積数)
という公式を利用することで、サクッと面積を求めることができます。
※ここで記載している葉状図形求積数は一般的な名称ではないため、注意。
この葉状図形求積数Ｌを中学生や高校生は、
と覚えておくと運用しやすいと思います。
この葉状図形求積数Ｌの公式を用いると円周率が3.14ではない場合もπも問題文で指定されている任意の数
と入れ替えることでサクッと計算できます。
では実際に問題に利用してみましょう。
問題１ ★☆☆☆☆ 葉状図形求積数の基本問題
左の図の色がついたところの面積を求めなさい。
ただし、円周率は3.14とします。
また、左の図は、正方形です。
解答解説
今回の紹介した公式を使うと、１０×１０×０．５７＝５７㎠と求められます。
(別解)
扇形の面積 10×10×3.14÷４＝78.5
三角形の面積 10×10÷２＝50
葉状図形の半分 78.5-50＝28.5
葉状図形 28.5×２＝57㎠
でも求めることができます。 通常の解法もしっかり教えておきましょう。
問題２ ★★☆☆☆ 葉状図形求積数の利用
左の図の色のついた部分の面積を求めなさい。
ただし、円周率は3.14とします。
解答解説
左のように図形を四等分し、
一つの葉状図形の面積をまず求めます。
葉状図形 5×5×0.57㎠
四つの葉状図形 5×5×0.57×4＝57㎠
となります。
ここで気づいた方もいるかもしれませんが、問題１のような葉状図形と問題２のような四つの葉状図形の面積は囲んでいる正方形の面積が同じならば、面積が一致します。
問題３ ★★☆☆☆ 七宝紋(染め抜き)型の色付き面積
左の図は１辺の長さが２０ｃｍの正方形と
その正方形の４つの頂点を中心とする半径１０ｃｍ
の円形の一部と半径１０ｃｍの円をかいたものです。
色がついた部分の面積を求めなさい。
【２０１９年 浪速中学校に類題あり】
解答解説
まず、２０cm×２０cm＝４００㎠
より、一番大きい正方形の面積を求める。その後、
ここから、１０ｃｍ×１０ｃｍ＝１００㎠の中にある葉状図形
４枚を差し引くため、
４００－１００×０．５７×４＝４００ × (１－０．５７) ＝１７２㎠
関西にある私立中学校の浪速中学校ではこのような葉状図形を含む色付きの面積問題が
２０１７年も出題されている。こういった葉状図形がよく出題される学校を受験する場合は
０．５７(葉状図形求積数)を覚えておくと、時間に余裕が持てたり、検算手段として活用することが
出来ます。
コラム
ただし、この葉状図形求積数は円周率が ３．１４ の場合しか成立しない。
０．５７ は数学的に有意味な定数ではないということも理解しておく必要となってきます。
この数字だけを覚えておくことは、ある意味では諸刃の剣であり、指導者や保護者の立場
としては、可能であれば下記にある式の成り立ちや下記の式で覚えさせたほうが、中学・高校と
上がったタイミングでの０．５７を単純暗記するといった学習の弊害は招きにくいのは事実では
あります。