今回は数学Ａの分野に属する二項定理の応用的利用について紹介します。
まず二項定理の式から見直していきましょう。
二項定理
上記の式が二項定理と呼ばれるものです。
この二項定理の式におけるa,bをそれぞれ１とｘに置き換えたものを考えてみると
という式がなりたちます。
右辺と左辺を入れ替えてみると、一般化二項定理という式が導けます。
この式は公式集や教科書に載っていなかったりするのですが、様々な問題を解いたり、
研究に利用できるので覚えておきましょう。
この式のｘを様々あたいに置き換えると累乗と二項定理をつなぐことができます。
例えば、ｘ＝1のとき、
が導けます。時間があるときにxを２や３に置き換えて、遊んでみると数学の
応用問題を解くヒントを自分の中に蓄積することができるのでぜひチェレンジ
してみましょう。では、これを利用した問題を見ていきましょう。
問題１★★★☆☆
次の問いに答えよ。ただし、ｎは２以上の自然数とする。
次の式を満たすｎを求めなさい。
(2019 大阪桐蔭：校内テスト)
◆解答方針
の式に非常に似通った部分があるので、
この式を変形して問題を解いていく。
◆解答
より、これを変形すると
となる。
より、
がなり立つ。
これは、問題で与えられている式の左辺と等しいので、
を満たすｎを求めればよいことになる。よって、n=7となる。
問題２★★★★☆
次の問いに答えよ。ただし、ｎは２以上の自然数とする。
次の式を満たすｎを求めなさい。
(2019 大阪桐蔭：校内テスト)
◆解答方針
Ｃの前に数字がついているので。一般化二項定理を利用して、問題を解いていくと
頭の中で考えよう。
◆解答
まず、一般化二項定理を考える。
問題では３の倍数が式の中にちりばめられているので、ｘ＝３を上記の
式に代入してみる。すると、
となり、問題で与えられた式に類似した式が導ける。この式を変形すると
が導出できる。これは問題で与えられている式の左辺と等しいため、
よって、を満たすｎを考えると、n=6であるとわかる。