今回はすべての代数系に共通の性質をまとめていきます。
まずは、演算について説明していきます
ある集合Ａにおいて定義された次のような写像
を考えてきます。この写像を2項演算といいます。
これから、2項演算の記号を◦で表し、上記のの関係を
と表現することにしましょう。
2項演算の記号は、2項演算子と呼ばれ、場合によっていろいろな記号
が割り当てられます。
記号＋：加法演算
記号・：乗法演算
といいます。
ここからが本題なのですが、集合Ａに演算◦が定義されているとき、この集合と
演算の組(Ａ；◦)を代数系といいます。
集合Ａの任意の２つの元(要素)に対して、2項演算を施して得られた結果が
集合Aの元であるとき、集合Ａは演算◦に関して閉じているといいます。
問題を使って簡単におさらいしてみましょう。
問題 ★☆☆☆☆ 【閉じているかどうか】
集合Ａ＝{-１,０,１}に対して、加法演算、乗法演算がそれぞれ閉じているか
確認しなさい。
解答
集合Ａの任意の元をｘ、ｙとする。
ｘ＝１、ｙ＝１の場合、ｘ＋ｙ＝２となり、
とはならないため、加法(演算)に関して閉じていないといえます。
乗法に対しては集合Ａの任意の２つの元を乗じても
-１、０、１のいずれかになるため、集合Ａは演算・に関して閉じているといえます。