【年金数理】ド・モアブルの法則の拡張

今回は前回考えたド・モアブルの法則を拡張した生存数から派生する死亡法則と

各々の数学的な式の関係についてみていきましょう。

$l_x=l_0(1-\frac{x}{\omega})$ (ド・モアブルの法則)

この式のかっこ部分をｋ乗した場合を考えてみましょう。

$l_x=l_0(1-\frac{x}{\omega})^k$

生存数がこのような形をとる場合、死力や生存率、平均年齢において

公式的な関係性を見ることが出来ます。

まずは、生存率についてみていきましょう。

$l_x=l_0(1-\frac{x}{\omega})^k$ のとき、

$_tp_x=\frac{l_{x+t}}{l_x}=\frac{l_0(1-\frac{x+t}{\omega})^k}{l_0(1-\frac{x}{\omega})^k}=(\frac{\omega-x-t}{\omega-x})^k$

と生存率がわかる。

この生存率から

$_tq_x=1-(\frac{\omega-x-t}{\omega-x})^k$ が導け、この死亡率をｔで微分すると

$\frac{d_tq_x}{dt}=-k(\frac{\omega-x-t}{\omega-x})^{k-1}(-\frac{1}{(\omega-x)})$ ・・・①となる。

この死力の微分は、

$\frac{d_tq_x}{dt}=_tp_x\cdot \mu_{x+t}=(\frac{\omega-x-t}{\omega-x})^k\cdot \mu_{x+t}$ ・・・②

と等しく、①と②を比較すると死力が

$\mu_{x+t}=\frac{k}{\omega-x-t}$

と求めることが出来る。このような関係性を知っておくと、年金数理人やアクチュアリーの

試験の限られた時間でも問題を容易に処理することが出来ます。

完全平均余命についても生存数の式を公式に当てはめると

$\overset{\circ }{e}=\int_{0}^{\omega-x}{}_{t}p_{x} dt=\int_{0}^{\omega-x}{}\frac{\omega-x-t}{\omega-x}dt=\frac{\omega-x}{k+1}$

公式が導けます。

最後に平均年齢についても導いておきましょう。平均年齢の公式に生存数の式をあてはめ、

分子の部分積分を解くと

$\bar{x}=\frac{\int_{0}^{\omega}xl_xdx}{\int_{0}^{\omega}l_xdx}=\frac{\omega}{k+2}$

が導けます。

問題１　★★☆☆☆　　ド・モアブルの法則の拡張

生存数が下記の条件のもと、平均年齢を求めなさい。

$l_x=l_0(1-\frac{x}{115})^3$ (０≦ｘ≦１１５)

解答

生存関数が

$l_x=l_0(1-\frac{x}{\omega})^k$ の形のため、

$\bar{x}=\frac{\omega}{k+2}$

が利用できる。これより、

$\bar{x}=\frac{115}{3+2}=23$

となる。

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