【年金数理】復帰年金について

今回は、復帰年金について学習していきましょう。

ある人物の死亡を条件に、複数の生存者 $xy$ や最終共存状態 $\overline{xy}$ にある人物に対して、与えられる年金を

復帰年金といいます。この復帰年金は、適用範囲が広い遺族年金というイメージを持ってもらえれば大丈夫です。

ここで3人の連生がなされている状況を前提に、(ｘ)が死亡した年度末から開始し、(ｙ)と(ｚ)が共存する限り毎年１を支払う年金の現価は、

$a_{x|yz}=v\cdot q_z\cdot p_{yz}\cdot \ddot{a}_{y+1,z+1}+v^2\cdot _{1|}q_x\cdot_2p_{yz}\cdot\ddot{a}_{y+2,z+2}+\cdot \cdot \cdot$

$= \sum_{t=1}^{\infty }v^t\cdot_tq_x\cdot_tp_{yz}=\sum_{t=1}^{\infty }v^t(1-_tp_x)_tp_{yz}$

となる。これにより、

$a_{x|yz}=a_{yz}-a_{xyz}$

これを終身の復帰年金といいます。

実用的な復帰年金の形としては、年金支払期間がn年と定められた形が一般的となります。

そのため、そちらも見てみましょう。

(ｘ)が死亡した年度の年度末から開始し、(ｙ)と(ｚ)が共存する限り、第n年度末まで毎年１を支払う年金

の現価は、

$a_{x|yz:\bar{n|}}=v\cdot q_z\cdot p_{yz}\cdot \ddot{a}_{y+1,z+1:\bar{n|}}+v^2\cdot _{1|}q_x\cdot_2p_{yz}\cdot\ddot{a}_{y+2,z+2 :\bar{n-1|}}+\cdot\cdot\cdot+{_{n-1|}q_x\cdot_np_{yz}\cdot v^n\ddot{a}_{y+t,z+t:\bar{1|}}}$

これを変形すると、終身の復帰年金の式同様に

$a_{x|yz:\bar{n|}}=\sum_{t=1}^{n}v^t\cdot _tq_{x}\cdot_{t}p_{yz}$

$a_{x|yz:\bar{n|}}=a_{yz:\bar{n|}}-a_{xyz:\bar{n|}}$

上記のような式を導くことができます。

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