【年金数理】確定年金(Fixed Annuity)

今回は確定年金について考えていきましょう。

確定年金は年金受給権者の生存や死亡にかかわらず、一定期間支払われる年金のことを言います。

ｎ年間期末に１が支払われる確定年金は

$a_{\overline{n}|}=v+v^2+v^3+\cdot\cdot\cdot+v^n$ ・・・①

といった現価率の累乗の和で表すことが出来ます。

これは、初項がｖ、公比ｖの等比数列の和のため

$a_{\overline{n}|}=\frac{v(1-n^n)}{1-v}=\frac{1-v^n}{i}$ ・・・②

と表すことが出来ます。

これを確定年金現価率といいます。

ｎ年間期初に１が支払われる場合は、

$\ddot{a}_{\overline{n}|}=1+v+v^2+\cdot\cdot\cdot+v^{n-1}$ ・・・③

$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{(1-n^n)}{1-v}=\frac{1-v^n}{d}$ ・・・④

と表します。※aの上のドットはドットもしくは、ドンドンと呼ばれます。

④の式を変形すると

$1=d\ddot{a}_{\overline{n}|}+v^n$ ・・・④’

という式を得ることが出来き、

これは被保険者目線から見ると、現在１を受け取ることと現在１を受け取らずに、年利率iの預金をし、そこから年度初めにｄずつｎ年間受け取りをおこない、ｎ年後に１を受け取ることが同じ評価であることを表します。

◆年金終価

上記の①～④までは、現時点での評価額について考えましたが、次は時点ｎでの評価について考えていきます。

年１回１を期末払う場合のｎ時点での価値は

$s_{\overline{n}|}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+(1+i)+1$

$=\frac{(1+i)^n-1}{i}$ ・・・①

となります。これを年金終価といいます。

また、年１回期初に１を支払う年金のｎ時点での評価は

$\ddot{s}_{\overline{n}|}=(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+(1+i)$

$=\frac{(1+i)^n-1}{d}$ ・・・②

となります。

問題１　年金現価と終価　★☆☆☆☆

$\frac{1}{a_{\overline{n}|}}-\frac{1}{s_{\overline{n}|}}$

に等しいものは次のうち正しいものをすべて選びなさい。

(A)d　(B)i　(C)i/v　(D)d/v　(E)1/v

【アクチュアリー　平成１年　改】

◆解答解説

$\frac{1}{a_{\overline{n}|}}-\frac{1}{s_{\overline{n}|}}=\frac{i}{1-v^n}-\frac{i}{(1+i)^n-1}$

$=\frac{i}{1-v^n}-\frac{iv^n}{1-v^n}=i$

より、(B)が正しい。また、選択肢の(D)もiに変形できるので、(D)も正しい。

1⃣年金数理は年々難しくなってきており、平成１年度の時点では上記の関係式の検証だけで１問だったのが、現在は上記を当然の式として選択肢や問題が作成されているようで、過去問や演習問題の充実化などの後押しもあるが難易度のインフレを感じてしまう・・・

問題２　確定年金で分解できる変動年金　★★☆☆☆

支払い年度別の年金額が下表のとおり変動する２種類の年１回期末払い確定年金AおよびBがある。これらの年金AとBの年金現価が等しいときkの値に最も近いものの記号を選べ。ただし、割引率はｖ。であり、 $v^5=0.86$ である。

支払い年度	年金A	年金B
第１年度～第５年度	２	３・ｋ
第６年度～第１０年度	１	３・ｋ
第１１年度～第１５年度	１	１・ｋ
第１６年度～第２０年度	０	１・ｋ

(A)０．５２　(B)０．５８　(Ｃ)０．６４　(Ｄ)０．６９

(Ｅ)０．７１

【アクチュアリー年金数理　平成１４年】

◆解答解説

問題の表から

$a_{\overline{5}|}+a_{\overline{15}|}=2ka_{\overline{10}|}+ka_{\overline{20}|}$ ・・・①

が考えられます。公式を利用し、①を整理すると

$\frac{(1-v^{15})}{1-v}+\frac{(1-v^5)}{1-v}=k\left \{ \frac{2(1-v^{10})}{1-v}+\frac{(1-v^{20})}{1-v} \right \}$

となり、

$k=\frac{(1-v^{5})+(1-v^{15})}{2(1-v^{10})+(1-v^{20})}$

$=0.5231508204\approx 0.52$

これより(A)が正しい。

1⃣支払う年金額が年度ごとに異なる確定年金を変動年金といいます。

◆据置期間付年金

次は、年金支給までに据置期間(Deferral Period)がある場合は、

据置期間ｓ年のｎ年間の期末払確定年金は

$_s_|a_{\overline{n}|}=v^{1+s}+v^{2+s}+v^{3+s}+\cdot\cdot\cdot+v^{n+s}$ ・・・①

と表します。ｓ｜はｓ年据置期間を設けているということを表しています。

上記の場合は、期末払ｓ年据置年確定年金を表しています。

それとは別に期初払いの据置期間ｓ年のｎ年間の確定年金の場合は、

$_{s|}\ddot{a}_{\overline{n}|}=v^s+v^{s+1}+\cdot\cdot\cdot+v^{s+n-1}$ ・・・②

となります。

⑦、⑧はそれぞれ、

$_{s|}{a}_{\overline{n}|}=v^s{a}_{\overline{n}|}$ ・・・③

$_{s|}\ddot{a}_{\overline{n}|}=v^s\ddot{a}_{\overline{n}|}$ ・・・④

と変形することもできます。

問題１　連続払いの確定年金　★★☆☆☆

経過年数ｔにおいて年額 $\alpha^t$ の割合で支払われるｎ年間の連続払確定年金の現価は次のうちどれか。

(α＞１＋i )

(A) $\frac{(\log{\alpha}-\delta )v^n}{i}$ (B) $\frac{1}{\log{\alpha}+\delta}(\alpha^n\cdot v^n-1 )$

(C) $\frac{1}{\log{\alpha}-\delta}(\alpha^n\cdot v^n-1 )$ (D) $\frac{1-v^n}{\log{\alpha}-\delta}$ (E) $\frac{nv^n}{\alpha-\delta}$

【アクチュアリー年金数理　平成２年】

◆解答解説

問題文で指定されている連続払確定年金は

$\overline{a}_{\overline{n}|}=\int_{0}^{n}\alpha^tv^tdt$ ・・・❶

$v^t=e^{-\delta t}$ と $x=e^{\log{x}}$ のネイピア数と対数が出現する変形の関係を用いると

$=\int_{0}^{n}e^{(t\log {a}-\delta t)}dt$

$=\int_{0}^{n}e^{(\log {a}-\delta )t}dt$ ・・・❷

となる。

これを計算すると

$\frac{1}{\log{a}-\delta}(e^{\log{a^n}-\delta n}-1)$

となる。よって

$\frac{1}{\log{\alpha}-\delta}(\alpha^n\cdot v^n-1 )$

これより解答は(C)

問題２　２つの年金が等しい　★★☆☆☆

年金Aおよび年金Bは次の連続払いの年金であるとする。年金Aと年金Bの年金現価が等しい時、Kに最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。

年金A：当初５年間は年金年額２をその後５年間は年金年額１を支払う１０年確定年金

年金B：年金年額Kの１０年確定年金

ただし、利力はδ＝0.2とし、必要があればe=2.718を使用すること。

(A)１．６５　(B)１．６７　(C)１．６９　(D)１．７１　(E)１．７３

(F)１．７５　(G)１．７７　(H)１．７９　(I)１．８１　(J)１．８３

◆解答解説

問題文より

$\overline{a}_{\overline{10}|}+\overline{a}_{\overline{5}|}=K\overline{a}_{\overline{10}|}$

が成り立ちます。

ここで連続払いの年金現価は

$\overline{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-e^{-nδ}}{δ}$

より

$\frac{1-e^{-10δ}}{δ}+\frac{1-e^{-5δ}}{δ}=K\frac{1-e^{-10δ}}{δ}$

が成り立ちます。これより、

⇔$K=1+\frac{1-e^{-1}}{1-e^{-2}}$

と求まります。

$\frac{1}{e}=0.3679175865$

$\frac{1}{e^2}=\frac{1}{7.387524}=0.13533504$

なので、

$K=1+\frac{1-e^{-1}}{1-e^{-2}}$

=1+0.7309468572

となる。よって(E)が正しい。

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