【年金数理】給付算定型単位積立方式

今回は、単位積立方式のうち、給付算定型単位積立方式についてみていきましょう。

給付算定型単位積立方式とは、Trowbridgeモデルで基本的に考える、

給付原資Aが単位給付原資が下記のように均等に分けられている

$\frac{1}{x_r-x_e}{A}$

単位積立方式とは異なり、単位給付原資が一定ではなく加入期間が１年延びることにより増加する年金額を各年齢に割り当て、標準保険料を加入期間が $x-x_e$ 年から $x-x_e+1$ 年に延びることに対応させたものを指します。

このとき、単位は

$\frac{(\alpha _{x+1-x_e}-\alpha_{x-x_e})}{\alpha_{x_r-x_e}}\alpha_{x_r-x_e}A=(\alpha _{x+1-x_e}-\alpha_{x-x_e})A$ ・・・①

となり期間ごとに均等ではないものとなります。

また、ここで扱っているαは給付算定式と呼ばれ、制度や設定によって異なります。

上記のような給付算定型の単位積立方式では、給付算定式を含んだ

$^UP_x=(\alpha _{x+1-x_e}-\alpha_{x-x_e})\times\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}$ ・・・②

が成り立ちます。

では問題についてみていきましょう。

問題１　給付算定型単位積立保険料との比較　★★★★☆

被保険者が脱退した時から、次の式で表される年金額 $a_t$ を１０年確定年金（年1回期初払い）として支払う年金制度があり、定年退職による脱退時のみ支払う。

加入期間𝑡に応じた年金額： $a_t=\frac{t}{x_r-x_e}B_{x_e}(1+r)^{t-1}$

この年金制度に採用する財政方式について、加入年齢方式と単位積立方式を候補として検討しており、単位積立方式を採用する場合は、加入期間が１年延びることにより増加する年金額を各年齢に割り当てます。加入年齢方式を採用した場合の単位給与あたりの標準保険料率を $^EP_{x_e}$ とし、単位積立方式を採用した場合の年齢𝑥歳の１人あたりの標準保険料を $^UP_{x}$ とする。 $^UP_{x}$ は加入期間が $x-x_e$ 年から $x-x_e+1$ 年に延びることに対応する。
𝑥を４０とするとき、 $^EP_{x_e}\times B_{x_e}\div ^UP_{40}$ を小数第４位まで求めなさい。計算の前提は次のとおりとし、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。

・予定利率i=３．０％

・加入期間ｔは年単位とする。(１年未満の端数期間は切捨て)

・ $x_e=30$ , $x_r=60$ となっており、すべての被保険者は加入年齢である３０歳で加入するものとする。

・ $B_{x_e}$ は ${x_e}$ 歳の給与とし、毎年の昇給率をｒとします。ここでｒは年齢によらず、２．０％とし、実際の昇給は予定と相違しないものとする。また、昇給は５９歳まで行われるものとする。

・昇給、新規加入および標準保険料の払い込みは年１回期初に発生し、「昇給→新規加入→標準保険料の払い込み」の順に発生する。

・定年退職による脱退は、６０歳に到達した期初に発生する。

・標準保険料を払い込む被保険者の最終年齢は５９歳とする。

$D_{30}$ :４,１２０

$D_{40}$ :１,０６９

$B_{30}$ :１００，０００

$1.02^{20}=1.486$

$\sum_{y=30}^{59}D_yb_y$ ：３６，６８９(ｂは給与指数で、加入年齢時は１とする)

【２０２３年度　アクチュアリー　年金数理】

◆解答解説

問題文にTrowbrigdeモデルと指定がないため、給付算定型の単位積立方式とわかる。これより

$^UP_x=(\alpha _{x+1-x_e}-\alpha_{x-x_e})\times\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{D_x}$ ・・・❶

ここで給付算定式が $a_t=\frac{t}{x_r-x_e}B_{x_e}(1+r)^{t-1}$ となっているので、

❶は

$^UP_x=\frac{(x+1-x_e)B_{x_e}(1+r)^{x-x_e}-(x-x_e)B_{x_e}(1+r)^{x-x_e-1}}{x_r-x_e}\times\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{D_x}$ ・・・❷

これより、

$^UP_{40}=\frac{11B_{30}(1.02)^{10}-(10)B_{30}(1.02)^{9}}{30}\times\frac{D_{60}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{D_{40}}$ ・・・❸

となります。

加入年齢方式では、単位給与あたりの標準保険料率を考えるので、

$^EP_{x_e}=\frac{D_{x_r}b_{x_r}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{\sum_{y=30}^{59}D_yb_y}$ ・・・❹

ここで昇給は定年-１まで行われるので、❹は

$^EP_{x_e}=\frac{D_{x_r}b_{x_r-1}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{\sum_{y=30}^{59}D_yb_y}$ ・・・❹’

となります。

$^EP_{30}=\frac{D_{60}b_{59}\ddot{a}_{\overline{10}|}}{\sum_{y=30}^{59}D_yb_y}$ ・・・❺

これより、

$\frac{B_{30}\cdot ^EP_{30}}{^UP_{40}}=\frac{b_{59}}{36,689}\times \frac{30\cdot D_{40}}{11(1.02)^{10}-10(1.02)^9}$ ・・・❺’

ここで $b_x=b_{x_e}(1+R_{x_e})\cdot\cdot\cdot(1+R_{x-1})$ かつ、 $R_{x}=r=0.02$ より、

$b_{59}= b_{x_e}(1+r)^{29}$ ・・・❻が成り立ちます。これより、❺’は、

$\frac{B_{30}\cdot ^EP_{30}}{^UP_{40}}=\frac{1.02^{{29}}}{36,689}\times \frac{30\cdot D_{40}}{11(1.02)^{10}-10(1.02)^9}$ よって計算をおこなうと

$\frac{B_{30}\cdot ^EP_{30}}{^UP_{40}}=1.0646872761\approx 1.0647$

となります。

1⃣条件や文章が非常に多い問題。これ１問で学ぶことは多いが、試験本番で冷静にこれを解けるかは微妙なところ。給付算定型に関しても教科書には記載がないため、難易度は高めかと思われる。

2⃣給与と昇給率との関係式 $B_{x_e}(1+r)^{x-x_e}=B_x$ を用いてアクチュアリー協会の解答は、❷を整理した解答解説が作成されています。

問題２　給付算定式を考える　★★★☆☆

ある年金制度は、加入時から脱退時までの給与の累積額に年齢や加入期間によらない一定率を乗じた額を、定年到達による脱退時から終身で支給する制度であり、定年到達以外の脱退時の給付は行わない。財政方式は単位積立方式を採用しており、各年度に割り当てる「単位」を、加入期間が1年伸びることにより、増加する年金額としている。このとき、ある年度の期初に年齢 $x_e$ 歳で加入した被保険者について、「(ｘ＋５)歳の標準保険料÷ｘ歳の標準保険料」(ただし、 $x_e<x,x+5<x_r$ ( $x_r$ は定年年齢とする。))に最も近いものは次のいずれか。なお、給与は毎月松に２．０%昇給するものとし、昇給後に給与が累積されるものとする。また、予定利率は、１．５％で保険料の払い込みは年1回期初であり、期初には「新規加入→保険料の払い込み」の順番で発生するものとし、ｘ歳の被保険者が５年後も被保険者である確率は、０．８５とする。