【年金数理】据置生命年金と長寿年金(Deferred life annuity)

今回は生命年金における据置保険をご紹介しつつ、その性質について掘り下げを行って行きます。

生命年金の記号の左下にｆ｜をつけて据え置き年金を表します。

$_{f|}\ddot{a}_x=\sum_{t=f}^{\infty }v^t_tp_x$ $=\sum_{t=f}^{\infty }\frac{D_{x+t}}{D_x}=\frac{N_{x+f}}{D_x}$ (期始払据置生命年金)・・・①

$_{f|}a_x=\sum_{t=f+1}^{\infty }v^t_tp_x$ $=\sum_{t=f+1}^{\infty }\frac{D_{x+t}}{D_x}=\frac{N_{x+f+1}}{D_x}$ (期末払据置生命年金)・・・②

問題１　据置生命年金の性質　★☆☆☆☆

(１) $_{5|}\ddot{a}_{55}=10$ 、 $D_{55}=4,280$ のとき, $N_{60}$ を求めなさい。

(２) $_{5|}\ddot{a}_{55}=10$ のとき、 $_{4|}{a}_{55}$ を求めなさい。

【wakuwaku math 作成問題】

◆解答解説

(１)

$_{5|}\ddot{a}_{55}=\frac{N_{60}}{D_{55}}$

が成り立つので、これにそれぞれ値を代入すると $N_{60}$ ＝４２，８００となる。

(２)

$_{f-1|}a_x=\frac{N_{x+f}}{D_x}$ 、 $_{f|}\ddot{a}_x=\frac{N_{x+f}}{D_x}$

より

$_{5|}\ddot{a}_{55}=10$

であるならば、

$_{4|}{a}_{55}=10$ となる。

◆保証期間付終身年金(Life annuity certain and continuous)

今回は、保証期間付終身年金についてみていきましょう。

保証期間付終身年金は、一定の保証期間中は、被保険者の生死にかかわりなく年金を支払い、保証期間を過ぎてから生存しているときに年金を支払う

年金の事を言います。これは、つまり年金確定年金と据置期間付終身年金を組み合わせたものになります。

この年金現価は期初払・期末払とそれぞれ、

・ $\ddot{a}_{\overline{n}|}+_{n|}\ddot{a}_x$

= $\ddot{a}_{\overline{n}|}+\frac{N_{x+n}}{D_x}$ ・・・(期初払保証期間付終身年金)・・・①

・ ${a}_{\overline{n}|}+_{n|}{a}_x$

＝ ${a}_{\overline{n}|}+\frac{N_{x+n+1}}{D_x}$ ・・・(期末払保証期間付終身年金)・・・②

となります。ちなみにこれらはｘ歳時点での年金現価になります。

問題１　保証期間付終身年金　★★☆☆☆

年１回期切払６０歳支給開始で１０万円を給付する終身年金がある。今、６０歳時点の年金現価額を変更せずに、年１回期切払６０歳支給開始５年保証期間付終身年金に変更したい。さらに、保証期間中の年金額を現行の１．５倍に変更した場合、保証期間経過後の年金額は何万円になるか。小数第１位より下は四捨五入してもとめなさい。

予定利率は３．０％とし、基数表は次の通りとする。

【アクチュアリー年金数理　平成１５年度　年金数理】

◆解答解説

終身年金の６０歳時点での年金現価は

$10\frac{N_{60}}{D_{60}}$ ・・・❶

５年保証期間付き終身年金の６０歳時点での年金現価は、保証期間後の年金額をAとすると

$1.5\times10\ddot{a}_{\overline{5}|}+ A\frac{N_{65}}{D_{60}}$ ・・・❷

問題文より、これらの年金現価額の差はないので、

$1.5\times10\ddot{a}_{\overline{5}|}+ A\frac{N_{65}}{D_{60}}=10\frac{N_{60}}{D_{60}}$ ・・・❸

が成り立ちます。これをAについて解くと

A＝７．８４２３３０３４３４９より、

７．８万円とわかります。

問題２　さまざまな保証期間付終身年金　★★★☆☆

加入年齢 40 歳、定年年齢 60 歳で、中途脱退者に対しては加入年数× 1の一時金、定年退職者に対しては年金額 2 を定年退職直後から年 1 回期初に支払う 10 年保証期間付終身年金を支給する年金制度がある。加入は年 1 回期初に発生し、脱退は年 1 回期末に発生し、保険料は年 1 回期初に払い込むものとする。財政方式は加入年齢方式とする。このとき、次の（ア）、（イ）の各問について
答えなさい。なお、必要であれば次の基数表および諸数値を使用しなさい。

＜諸数値＞

・１０年確定年金現価率(年１回期初払い)：8.971

・２０年確定年金現価率(年１回期初払い):15.979

(ア)この年金制度の標準保険料として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。

(A)０．９１　(B)０．９４　(C)０．９７　(D)１．００　(E)１．０３

(F)１．０６　(G)１．０９　(H)１．１２　(I)１．１５　(J)１．１８

(イ)

この年金制度の給付について、定年退職者に支給する年金額を、保証期間終了後は0.5とする２０年保証期間付終身年金に見直すこととする。このとき、標準保険料率が(ア)の結果と一致するように中途脱退者に対して支給する一時金を一律ｋ倍とする。このｋの値について最も近いものを選択肢のなかから１つ選びなさい。なお計算に使用する標準保険料率は(ア)で選択した解答の率を使用しなさい。

(A)１．４０　(B)１．４５　(C)１．５０　(D)１．５５　(E)１．６０

(F)１．６５　(G)１．７０　(H)１．７５　(I)１．８０　(J)１．８５

【アクチュアリー年金数理　２０２２年　問２(２)】

◆解答解説

(ア)標準保険料率を求めていく。

まずは加入年齢方式のため、給付現価を考えると

$\frac{R_{40}-R_{60}-20M_{60}+2(D_{60}\ddot{a}_{\overline{１０}|}+\frac{N_{70}}{D_60})}{D_{40}}$

=12.5956909965・・・❶

となります。

また収入現価は

$\frac{N_{40}-N_{60}}{D_40}$

=11.8319763104・・・❷

より、標準保険料率は、❶÷❷より、1.0645485953≒1.06となります。よって解答は(F)となります。

(イ)

変更後の標準保険料率は、

$\frac{k(R_{40}-R_{60}-20M_{60})+\ddot{a}_{\overline{２０}|}D_{60}+0.5N_{80}}{N_{40}-N_{60}}$

これが、条件より、１．０６と等しくなるので

k＝1.84194348894≒1.85

よって(J)が正しい。

◆据置期間中の死亡に対する支給(長寿年金)

次に、据置期間中に年金受給権者が死亡した場合、遺族へ年金受給権者のｋ倍の年金をs年間支給するx+ｎ歳支給開始の終身年金について考えていきましょう。

$\frac{(M_x-M_{x+n})k\ddot{a}_{\overline{s}|}}{D_x}+\frac{N_{x+n}}{D_x}$ ・・・①

これは、年１回期初払ｘ＋ｎ年支給開始の終身年金に死亡給付金を付与したものになります。ｋは０.７などの数値に抑えられることが多く、その分、一般形の死亡給付金付きの年金と比較すると年金額が多く設定されていることが多いです。

では、問題を見ていきましょう。

問題１　長寿年金　★★☆☆☆

年１回期初払６０歳支給開始終身年金について、さまざまな条件を付与し、年金現価率を調べていく。次の３つの場合の５５歳時における年金現価率としてもっとも近いものは次のうちいずれか。

予定利率は３．０％とし、 $\ddot{a}_{\overline{15}|}^{(3.0%)}=12.29607$ とする。

(１)年１回期初払６０歳支給開始終身年金の年金現価率を求めなさい。小数第１位までを求めなさい。

(２)(１)の終身年金に、６０歳までの据え置き期間中に年金受給権者が死亡した場合に、死亡の翌期初から遺族に本人の０．７倍の年金を１５年間支給する年金現価率を求めなさい。小数第１位までを求めなさい。

(３)(２)の終身年金に、本人への年金支給開始後１５年以内に年金受給権者が死亡した場合には、死亡の翌期初から遺族に本人の０.４倍の年金を１５年間支給する。この年金の年金現価率を小数第１位までを求めなさい。

◆解答解説

(１)

年金現価率は

$\ddot{a}_{{60}}=\frac{N_{60}}{D_{55}}$

より、１４．１

(２)

年金現価率は、

$\frac{(M_{55}-M_{60})0.7\ddot{a}_{\overline{15}|}^{(3.0%)}}{D_{55}}+\ddot{a}_{60}$

より、０．２４６＋１４．１０９＝１４．３５５≒１４．４

(３)

求める年金現価率は、

$\frac{(M_{55}-M_{60})0.7\ddot{a}_{\overline{15}|}^{(3.0%)}}{D_{55}}+\frac{(M_{60}-M_{75})0.7\ddot{a}_{\overline{15}|}^{(3.0%)}}{D_{55}}+\ddot{a}_{60}$