【年金数理】確率変数と年金

by Yu
2024年5月10日2024年5月11日

今回は、確率変数と年金現価の関係についてみていきましょう。

◆余命を表す確率変数

T＞０でTは死亡・故障などのある対象を死亡・故障までの時間を表す確率変数とします。このTの確率変数は連続型(continuous)の確率変数としておきます。

Tの分布について

$S(t)=P(T>t)$ ・・・①

という関数を考えましょう。これを生存分布関数(survival distribution function)もしくは生存関数(survival function)といいます。

次に、 $T_x>0$ で $T_x$ はあるｘ歳の被保険者が死亡するまでの時間の長さを表す確率変数とします。

ここで、０歳のからの余命より、ｘ歳の被保険者が生存しており、ｘ＋ｔ歳まで生存しているという条件付き確率を考えると

$S_x(t)=P(T_0>x+t|T_0>x)=\frac{S(x+t)}{S_(x)}$ ・・・②

となります。これをｔ年生存確率といい、

$S_x(t)=_tp_x$ ・・・③

と表します。

次に、②の余確率を考えると

$F_x(t)=\frac{S(x)-S(x+t)}{S(x)}$ ・・・④

となり、これをt年死亡確率といい、

$F_x(t)=_tq_x$ ・・・⑤

で表記できます。

◆保険金現価を表す確率変数

死亡時に即時に一時金を支払うといった連続型保険などのの支払いに関して、この保険金を表す確率変数は、

$\overline{Z}_x=v^{T_x}$ ・・・⑥

と表すことができます $\overline{Z}_x$ のバーは即時払いを表しています。

$T_x$ の確率密度関数は、 $_tp_x\mu_{x+t}$ です。

$\overline{Z}_x$ の期待値は、

$E\left [ \overline{Z}_x \right ]=\int_{0}^{\infty}v^t \cdot_tp_x\mu_{x+t}dt$ ・・・⑦

となっており、これは、

$E\left [ \overline{Z}_x \right ]=\overline{A}_x$ ・・・⑧

保険金を即時に支払う終身保険となっています。

この $\overline{Z}_x$ の２次モーメントは、

$E\left [ (\overline{Z}_x) ^2\right ]=\int_{0}^{\infty}{(v^2)}^t \cdot_tp_x\mu_{x+t}dt=^2\overline{A}_x$ ・・・⑨

となっており、 $\overline{Z}_x$ の分散は、

$Var( \overline{Z}_x )=^2\overline{A}_x-(\overline{A}_x)^2$

となります。

問題１　確率変数Z　★★☆☆☆

ｘ歳の人が死亡するまでの年数 $T_x$ を確率変数とするとき、 $v^{T_x}$ の分散として最も適切なものはいずれか。

・ $v=\frac{1}{1+i}$

・δを利力とする。

・死力は年齢に関係なく一律ｃとする。

(A) $\frac{c}{c+2\delta }-\frac{c^2}{(c+\delta )^2}$ 　(B) $\frac{c^2}{(c+\delta)^2}$ 　(C) $\frac{c^2}{(c+\delta)^2}-\frac{c}{c+2\delta}$

(D) $\frac{c}{c+\delta}-\frac{c^2}{(c+2\delta)^2}$ 　(E) $\frac{c^2}{(c+2\delta)^2}-\frac{c}{c+\delta}$

【年金数理人　平成２６年】

◆解答解説

これは、保険金現価を表す確率変数の分散、つまり即時払終身保険についての分散を求めていることだとわかる。

$Var(v^{T_x})=Var(\overline{Z}_x)=E\left [ (v^2)^{T_x}\right ]-E\left [ v^{T_x} \right ]^2$ ・・・❶

$_tp_x=exp(-\int_{0}^{t}c dt)$

より、 $_tp_x=e^{-ct}$ となります。また、 $v^t=e^{-\delta t}$ より❶は

$Var(v^{T_x})=\int_{0}^{\infty}e^{-2\delta t}\cdot e^{-ct} c dt-(\int_{0}^{\infty}e^{-\delta t}\cdot e^{-ct} c dt)^2$

$=\frac{c}{c+2\delta }-\frac{c^2}{(c+\delta )^2}$

となるので、(A)が正しい。

コメントを残すコメントをキャンセル