【年金数理】予定脱退率・給与指数が標準保険料率に与える影響

今回は、予定脱退率が標準保険料に与える影響を見ていきましょう。

考えやすさのために、保険料は年１回期初払いとし、定年退職者に年額１の終身年金を期初に支給する年金制度を考えます。財政方式は加入年齢方式とします。

この時、給付現価は

$S_x=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}$ ・・・①

となり、人数現価は

$G_x=\frac{\sum_{y=x}^{x_r-1}D_y}{D_x}$ ・・・②

とあらわされます。

加入年齢方式のため、加入年齢における標準保険料率は

$P_{x_e}=\frac{S_{x_e}}{G_{x_e}}=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{y=x}^{x_r-1}D_y}$ ・・・③

となります。

ここで、生存関数がそれぞれ

$l_x^A=l_{x_e}-k^A(x-x_e)$ ・・・③

$l_x^B=l_{x_e}-k^B(x-x_e)$ ・・・④

※( $k^A>k^B$ )

がなりたっている場合の、それA、Bの場合の標準保険料がどうなるか考えていきます。上記が成り立っている場合、

Aのほうが、給付額が少なく、人数現価も少なくなるため、

$S_x^A<S_x^B$ ・・・⑤

$G_x^A<G_x^B$ ・・・⑥

が成り立ちます。

標準保険料について比較するために

$P_{x_e}^A,P_{x_e}^B$

がそれぞれ、１より大きいか小さいかを考えます。。

$\frac{P_{x_e}^A}{P_{x_e}^B}=\frac{D_{x_r}^A}{D_{x_r}^B}\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^B}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^A}$

ここで

$\frac{D_y^A}{D_y^B}=\frac{l_y^A}{l_y^B}\leq 1$

となっており、ｙについて単調減少であるため、

$\frac{D_{x_r}^A}{D_{x_r}^B}=\frac{(x_r-x_e)D_{x_r}^A}{(x_r-x_e)D_{x_r}^A}=\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_{x_r}^A}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_{x_r}^B}<\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^A}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^B}$

が成り立ちます。これより、

$\frac{D_{x_r}^A}{D_{x_r}^B}\cdot\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^B}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^A}<1$

つまり、

$\frac{P_{x_e}^A}{P_{x_e}^B}=\frac{D_{x_r}^A}{D_{x_r}^B}\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^B}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}D_y^A}<1$

となるので、

$P_{x_e}^A<P_x_e^B$

となることがわかる。

この関係性をグラフにすると下図のようになります。

では、実際に問題を見ていきましょう。

問題１　残存率と標準保険料率の関係　★★☆☆☆

定年退職者に対して、定年時給与を年金額とする終身年金を年１回期初に支払う年金制度A、Bを考える。年金制度は財政方式は加入年齢方式とするとき、年金制度の標準保険料 $P^{A}_{x_e}$ , $P^{B}_{x_e}$ の大小関係を導きなさい。記載していない条件は年金制度A、Bで同一であるものとする。

(１) 被保険者と標準保険料の関係

$l^A_{x}=l_{x_e}-k^A(x-x_e)$ ,　 $l^B_{x}=l_{x_e}-k^B(x-x_e)$

$k^A>k^B>0$ 　(ｋはともに固有の定数とする)、 $b^A_x=b^B_x$ 　（ $x_e\leq x\leq x_r$ ）

が成り立つ。

◆解答解説

与えられた条件より、上記のようなBの年金制度のほうが、被保険者の残存率が高い。被保険者の残存率が高いほど標準保険料率も上昇する傾向にあるため、

$P^A_{x_e}<P^B_{x_e}$

となります。

次に、

$l_x^A=l_x^B$ 　( $x=x_e,x_r$ )・・・①

$l_x^A<l_x^B$ 　( $x_e<x<x_r$ )・・・②

の場合は年齢別の給付現価と人数現価はそれぞれ、

加入年齢においては

$S_{x_e}^A=S_x_e^B$ , $G_{x_e}^A<G_x_e^B$ ・・・③

となります。

ここで標準保険料について③を用いて考えると

$\frac{P_{x_e}^A}{P_{x_e}^B}=\frac{S_{x_e}^A}{S_{x_e}^B}\cdot\frac{G_{x_e}^B}{G_{x_e}^A}=\frac{G_{x_e}^B}{G_{x_e}^A}>1$ ・・・④

となり、

${P_{x_e}^A}>{P_{x_e}^B}$

となります。

固定点が２つの場合は、固定点が１つの場合と異なり、生存関数が上に行くと標準保険料が下がります。

問題２　給与が保険料に及ぼす影響

保険料を給与の一定割合として、年金給付としての年金額は退職時給与 $b_{x_r}$ (円)と同額の終身年金を定年退職者のみに支給する年金制度を考える。 $x_r$ は定年年齢とする。

(１)

x歳の被保険者一人当たりの給付現価 $S_x=\frac{\square _1}{\square_2}$

x歳の被保険者一人当たりの給与現価 $G_x=\frac{\square _3}{\square_4}$

をx歳の給与を表す $b_{x}$ および計算基数、年金現価率を用いて表しなさい。また、それらを用いて、加入年齢方式での標準保険料率 $P_{x_e}$ を求めなさい。

(２)

集団Aの年齢別給与と集団Bの年齢別給与との関係が

$b^A_{x}=a(x-x_e)+b_{x_e}$ 　(円)

$b^B_{x}=\beta a(x-x_e)+b_{x_e}$ (円)

( $1< a,1< \beta$ )という条件を基に、Aの加入年齢方式の標準保険料率と集団Bの加入年齢方式の標準保険料の大小関係を求めなさい。

$P^A_{x_e}\square_5P^B_{x_e}$

◆解答解説

(１) $S_x=\frac{b_{x_r}D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_x}$ , $G_x=\frac{\sum_{y=x}^{x_r-1}b_y\cdot D_x}{D_x}$

これより、 $P_{x_e}=\frac{b_{x_r}D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y\cdot D_x}$

(２)

方針としては、大小関係を求めていくとあるので、分数の形で比較を行っていきたい。

$\frac{b^B_{x}}{b^A_{x}}=\frac{\beta\cdot a(x-x_e)+b_{x_e}}{a(x-x_e)+b_{x_e}}$

$=\beta-\frac{(\beta-1)b_{x_e}}{a(x-x_e)+b_{x_e}}$

上記の式のうち、 $\frac{(\beta-1)b_{x_e}}{a(x-x_e)+b_{x_e}}$ は、分子は定数で、分母は変数+定数となっており、分母は単調増加といえる。また、分数全体は、それに伴い、単調減少のため、

$\beta-\frac{(\beta-1)b_{x_e}}{a(x-x_e)+b_{x_e}}$ =定数₋単調減少になりえる部分＝単調増加になりえる部分になります。

これより、

$\frac{P^B_{x_e}}{P^A_{x_e}}=\frac{b^B_{x_r}D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b^B_y\cdot D_y}\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b^A_y\cdot D_y}{b^A_{x_r}D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}$

$=\frac{b^B_{x_r}}{b^A_{x_r}}\frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b^A_y\cdot D_y}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b^B_y\cdot D_y}$

ここで、 $\frac{b^B_{x}}{b^A_{x}}$ が単調増加のため、 $\frac{b^B_{x_r}}{b^A_{x_r}}> \frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^B}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^A}$ が成り立ちます。

また、 $D_x$ は単調減少のため、 $\frac{b^B_{x_r}}{b^A_{x_r}}> \frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^B}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^A}> \frac{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^BD_y}{\sum_{y=x_e}^{x_r-1}b_y^AD_y}$ となります。