【年金数理】生命年金

by Yu
2024年6月7日

今回は、終身年金について考えていきましょう。

被保険者が生存している限り、年金を支払うのものを終身年金といいます。確定年金と同様に期末払い、期初払いが存在します。

それぞれの式を見ていきましょう。

期初払いの終身年金は

$a_x=vp_x+v^2\cdot_2p_x\cdot\cdot\cdot v^{\omega-x-1}\cdot_{\omega-x-1}p_x$

$=\frac{1}{D_x}(D_{x+1}+D_{x+2}+\cdot\cdot\cdot D_{\omega-1})$

$=\frac{N_{x+1}}{D_x}$ ・・・①

と計算基礎率、計算基数で表すことができます。

期初払いの場合も

$\ddot{a}_x=1+vp_x+v^2\cdot_2p_x\cdot\cdot\cdot v^{\omega-x-1}\cdot_{\omega-x-1}p_x$

$=\frac{1}{D_x}(D_x+D_{x+1}+D_{x+2}+\cdot\cdot\cdot D_{\omega-1})$

$=\frac{N_{x}}{D_x}$ ・・・②

となります。

上記の①、②の関係より、

$a_x=\ddot{a}_x-1$ ・・・③

という関係があることもわかります。

問題１　計算基礎率の変更　★★☆☆☆

ｘ歳加入、年金額１の終身年金においてx+t歳における予定死亡率 $q_{x+t}$ のみをｃ(ｃ＞０)だけ小さくして、 $q_{x+t}'=q_{x+t}-c$ へ変更したとき、終身年金現価 $\ddot{a}_x$ が変化した。この時、 $\ddot{a}_x'$ を年金現価、ｃ、ｖ、生存確率を用いて表しなさい。

◆解答解説

終身年金現価は

$\ddot{a}_x=\sum_{t=0}^{\infty }v^t\cdot _tp_x$

$=1+vp_x+\cdot\cdot\cdot+v^t\cdot_tp_x+{\color{Magenta} v^{t+1}\cdot_{t+1}p_x+\cdot\cdot\cdot}$ ・・・❶

となっており、予定死亡率の変更によって影響を受ける部分がピンク色の項以降となる。というのも

$_{t+1}p_x=p_1\cdot p_2\cdot\cdot\cdot p_{x+t}$ ・・・❷

$p_{x+t}=1-q_{x+t}$ ・・・❸

より、 $q_{x+t}$ の変更は、ピンク色の部分に影響を与える。ここで、問題の条件より、

$p_{x+t}'=1-q_{x+t}+c=p_{x+t}+c$ ・・・❹

が成り立ち、これを❶に適応すると

$1+vp_x+\cdot\cdot\cdot+v^t\cdot_tp_x+v^{t+1}\cdot_tp_x(p_{x+t}+c)+v^{t+2}\cdot_tp_x(p_{x+t}+c)p_{x+t+1}+\cdot\cdot\cdot$

$=\ddot{a}_x+cv^{t+1}\cdot_tp_x(1+vp_{x+t+1}+v^2\cdot_2p_{x+t+1}+\cdot\cdot\cdot)$

$=\ddot{a}_x+cv^{t+1}\cdot_tp_x\cdot\ddot{a}_{x+t+1}$

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