【年金数理】賦課方式（Pay-as-you-go Method）

今回は賦課方式という財政制度について考えていきます。

◆賦課とはなにか

賦課、また『賦』という文字、漢字になじみがないかもしれませんが、

『賦』には①ねんぐ。財物や労役を割り当てる。 ②あたえる。 ③わかつ。

という意味があり、賦課とは、その年々に必要な財源をその年々の歳入によって賄うといった意味があります。

年金制度での賦課方式も、その名前が表す通り、その年の年金受給権者への給付を現役世代が賄うという形になっています。現役世代の給料を原資としているため、インフレや給与水準を反映しやすいという特徴があります。

◆日本の公的年金と賦課方式の歴史

賦課方式は主に公的年金制度に用いられており、２０２４年現在の日本では賦課方式が採用されています。１９４２年以前では以前は賦課方式ではなく積立方式が採用されていました。その後、戦後となり高度成長期のインフレによる影響で支給すべき財源が不足したため、１９６６年に実施された財政再計算の結果、積立方式と賦課方式とのハイブリッドである段階保険料方式による修正積立方式がとられるようになり、その後の１９７３年の年金改正により賦課方式の要素、色合いががさらに強くなり、現在ではほぼ賦課方式に事実上移行しているようです。

先進国では、賦課方式を公的年金に採用している国が多いようです。

参考：先進諸国の公的年金制度

公的年金での採用に対して、企業年金においては、この賦課方式は積立金がない制度なので、年金受給権者に対して、年金を支払う準備がないということを意味します。受給権者保護の観点で見ると採用するのにはふさわしくありません。

◆賦課方式の数理

数理的には、保険料の払い込み対象は年金受給者で、給付が発生するその都度ごとに同額の保険料を払いこまなければなりません。

以下には数理的な公式や関係式を紹介しています。

・保険料現価（率)

$^PP=\frac{B}{L}=1$

・制度全体の保険料現価

${ }^{p}\textrm{C}={ }^{p}\textrm{P}\cdot \left ( \sum_{x=xr}^{\omega }l_x{}^{} \right )=B$

・積立金

$^PF=(B-^PC)/d=(B-B)/d=0$

上記の式を見ればわかりますが、積立金が０なので、事前積立を行う必要はなく、また積立金による、利息収入を想定に入れていないので、その分の保険料は高くなるといったデメリットも存在しています。また、運用環境の悪化等があったとしても、積立金がそもそもない方式なので、運用による年金の削減の心配はないというメリットがあることもわかります。

特徴として、

積立金がすべての財政方式の中で最も小さい。（積立金が０）

保険料率、保険料はすべての財政方式の中で最も大きい。

では問題に移っていきましょう。

問題１　賦課方式の性質について　★☆☆☆☆

Trowbridgeモデルの年金制度における定常状態を考える。

賦課方式の年金制度において正しいものはいくつあるか答えよ。

① $^PF=0$

②賦課方式による年金制度において、掛金は各年度の加入者数や給与、制度からの脱退者数及び給与支払額に応じて変動する。

③保険料水準は、あらゆる財政方式のなかで最大である。

(A)０個　(B)１個　(C)２個　(D)３個

【wakuwaku math オリジナル問題】

◆解答解説

①は正しい。賦課方式は積立金を保有しません。

②各年度ごとでみると賦課方式の保険料と給付には

$^PC_n=B_n$

上記の関係があるため、支払額が変動すれば、掛金(保険料)も変動することがわかります。よって正しいです。

③賦課方式の重要な性質です。賦課方式は、積立金が存在しないがゆえに、積立金利息がないです。そのぶん保険料水準は最大となってしまいます。よって正しいです。そのため上記から、(D)

1⃣①の積立金に関しては、２０２１年アクチュアリー試験、２０１９年年金数理人で問われています。

問題２　賦課方式と到達年度　★☆☆☆☆

毎年、期初に恒常的に２０歳の新規被保険者５００人が制度に加入してきて、満６０歳に到達した翌年度の期初に一時金として１５０を受給できる制度がある。年齢ｘ歳の脱退率 $q_x$ は

$q_x=\frac{1}{(70-x)}$
であり、被保険者集団は定常人口になっている。この制度の一時金給付の財源を賦課保険料方式で賄うとした場合の年１回期切払い保険料率として、最も近いものの記号を選べ。また、６０歳に到達した者のうち翌年度の期初までの死亡は考えないものとする。

(い)１．１７　(ろ)１．２０　(は)１．２３　(に)１．２６

【wakuwaku math オリジナル問題】

◆解答解説

賦課方式で運営されているので、給付・保険料の拠出をそれぞれもとめていく。

まず、給付を求めるために、６０歳の生存者人数を求める。

$q_{20}=\frac{1}{50}$ となっており、 $l_{21}=500-500\times \frac{1}{50}=490$

$q_{21}=\frac{1}{49}$ となっており、 $l_{22}=490-490\times \frac{1}{49}=480$ であることがわかる。

つまり、１０名ずつ減っていくことがわかります。

これより、 $l_{60}=100$ とわかる。

ここで給付の支払い時期について考えていく。

『６０歳到達年度の翌期初から支給』とあるので『６１歳から支給』と考える方もいるだろうが、民法１４３条の「年齢計算ニ関スル法律」では、年齢は出生の日から起算し起算日の前日に満了するとあるので、６０歳に到達する日は、５９歳の年度期末と考えることができます。そのため、

【６０歳に到達した翌年度の期初に支給⇒５９歳の年度期末に到達した次の日に支給】

と考えることができます。これより、支払時期は６０歳の年度の期初で給付の総額は、

$B=100\times 150$

となります。保険料は、期初に存在する加入者なので

$L=(500+110)\times40 \times\frac{1}{2}=12200$

となる。これより、

$^PP=\frac{15000}{12200}=1.229508196$

よって、解答は(は)となります。

1⃣年金数理人の平成２３年度に類題あり。

問題３　到達年度のずれ　★★☆☆☆

毎年、期初に恒常的に２０歳の新規被保険者６００人が制度に加入してきて、満６０歳に到達して脱退する場合にのみ一時金として１００を受給できる制度がある。年齢ｘ歳の脱退率 $q_x$ は

$q_x=\frac{1}{(80-x)}$
であり、被保険者集団は定常人口になっている。この制度の一時金給付の財源を賦課保険料方式で賄うとした場合の年１回期切払い保険料率として最も近いものの記号を選べ。ただし、被保険者の誕生日は年間に平均的に分布ししており、脱退は年間を通じて平均的に発生し、予定利率は３.５％とする。
（A）１.１９３　（B）１.２０８　（C）１.２１４　（D）１.２９９　（E）１．２３５

【アクチュアリー　年金数理　平成１３年】

◆解答解説

$q_{20}=\frac{1}{(80-20)}=\frac{1}{60}$ となっており、 $l_{21}=l_{20}-d_{20}=600-600\times\frac{1}{60}=590$

とわかる。同様に

$q_{21}=\frac{1}{59}$ となっており、 $l_{22}=590-590\times\frac{1}{59}=580$

と１年ごとに１０名ずつ減少していくことがわかる。

これにより、 $l_{60}=200$ から給付Bは２００×１００の額が１年間を通して平均的に発生する。

保険料は期初に存在している、各年齢の加入者の和なので

$L=(600+210)\times40 \times \frac{1}{2}=16200$

よくある支払い時期が「６０歳到達年度の翌年度期初から」という、つまり「６０歳の年度期初」という設定だと

$^PP=\frac{B}{L}=\frac{200\times100}{16200}=1.234567$

と賦課方式の保険料を考えてしまうが、このように考えてはいけない。誕生日が年間に平均して分布しているとあるので、６０歳になる到達タイミングが６０歳の年度の期初ではなく、その年の年央にあると考えなくてはならない。そのため、給付と掛金の拠出が一致する一般的な賦課方式ではなく、掛金の拠出の後に給付があるというずれを考える必要がある。そのため、下記のように計算するのが正しい。

$^PP=\frac{B}{L}v^{\frac{1}{2}}=1.21351404241$