【年金数理】加入時積立方式(Initial Funding Method)

今回は財政方式の一つである加入時積立方式についてみていきましょう。

この財政方式は定常状態における財政方式の一つであり、在職中に年金を積み立てる事前積立方式の一つでもあります。

加入時積立方式の保険料払い込み対象者は新規加入した被保険者であり、これらの被保険者が定年後のための年金を一括で事前に払い込む方式になっています。

◆加入時積立方式の数理

一人あたりの保険料は

$_{ }^{In}\textrm{P}=\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$ ・・・①

で表され、制度全体の保険料は一人あたりの保険料に新規加入する人数を乗じれば、

$_{ }^{In}\textrm{C}=l^{(T)}_{x_e}\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}=l^{(T)}_{x_e}\cdot _{ }^{In}\textrm{P}$ ・・・②

と求めることができます。

これらの式は、被保険者の加入と同時に将来の給付原資を全額払いこむことを

表しており、払い込んだ保険料は退職時まで運用収益が見込まれるため、逆にいうと積立金への利息、利率への依存度が高い財政方式といえます。

次に積立金についてみていくと

$_{ }^{In}\textrm{F}=B/d-_{ }^{In}\textrm{C}/d$

ここで

$S^f=\frac{v}{d}\cdot l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$

を考える。この式の両辺をｖで割ると

$\frac{S^f}{v}=\frac{1}{d}\cdot l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}=_{ }^{In}\textrm{C}/d$

が導ける。これを積立金の式に代入し、整理すると

$_{ }^{In}\textrm{F}=S-S^f-l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$ ・・・②

が導けます。これをさらに整理すると、

$_{ }^{In}\textrm{F}=S^a+S^p-l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$ ・・・②’

となります。

これより加入時積立方式の定常状態の積立金は在職中の被保険者の給付現価と

年金受給者の給付現価から在職中の加入年齢の被保険者の給付現価を差し引いたものであることがわかります。

さらに在職中の被保険者の給付現価を

$S^a=\sum_{x=x_e}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{N_{x_r}}{D_x}$

となっており、②’へ代入すると

$_{ }^{In}\textrm{F}=S^p+\sum_{x=x_e+1}^{x_r-1}l^{(T)}_{x}\cdot \frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x}}$ ・・・②”

と変形できます。したがって、加入時積立方式の定常状態における積立金残高は加入年齢をのぞいた在職中の被保険者と年金受給権者の給付現価に等しいことがわかります。

それでは問題を見ていきましょう。

問題１　加入時積立方式の積立金　★☆☆☆☆

Trowbrigeモデルにおける加入時積立方式について考えていく。

$_{ }^{In}\textrm{F}+_{ }^{In}\textrm{C}-S^p-S^a_{PS}=\frac{\square _1 }{d}-\frac{\square _2}{i}$

上記の式の各四角に入るものを下記の選択肢からそれぞれ選びなさい。

(a) $_{ }^{P}\textrm{C}$ (b) $_{ }^{T}\textrm{C}$ (c) $_{ }^{U}\textrm{C}$ (d) $_{ }^{L}\textrm{C}$ 　 (e) $_{ }^{In}\textrm{C}$

◆解答解説

加入時積立方式の積立金は $_{ }^{In}\textrm{F}=S^a+S^p-l^{(T)}_{x_e}\cdot \frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$ であり、

また、制度全体の保険料は $_{ }^{In}\textrm{C}=l^{(T)}_{x_e}\frac{D_{x_r}\cdot \ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$ なので

$_{ }^{In}\textrm{F}+_{ }^{In}\textrm{C}=S^a+S^p$ が成り立ちます。

これより、

$_{ }^{In}\textrm{F}+_{ }^{In}\textrm{C}-S^p-S^a_{PS}=S^a+S^p-S^p-S^a_{PS}$

$=S^a-S^a_{PS}$

$=S^a_{FS}$

が成り立ちます。ここで財政方式の関係式を考えると、

$S^a_{FS}=\frac{_{ }^{U}\textrm{C}-v\cdot _{ }^{In}\textrm{C}}{d}$ が成り立つので、この式を変形すると

$S^a_{FS}=\frac{_{ }^{U}\textrm{C}}{d}-\frac{_{ }^{In}\textrm{C}}{i}$ が導ける。よって答えの選択肢はそれぞれ(c),(e)となる。

問題２　財政方式を見抜け　★★★☆☆

保険料が年１回期初払いで、定常状態に達しているTrowbrigeモデルの年金制度について、yを $x_e\leq y\leq x_r-2$ となる年齢として、以下の問いに答えなさい。

(１)以下を証明せよ。

$\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x-d\left (\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} +\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x \right )=l_y^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_y}$

(２)期末の積立金が

$\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}}{D_x}+\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x$

で表されるとき、制度全体の毎年度の保険料の額を求めることにより、どのような財政方式で運営されているか説明しなさい。また、特に $y=x_e$ の時の財政方式を答えなさい。

◆解答解説

$\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x-d\left (\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} +\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x \right )$

$=d\frac{\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x}{d}-d\left (\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} +\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x \right )$

$=d\left (S^p+l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\frac{1}{d}-\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} -\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x \right )$

$=d\left (S^p+l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\frac{1}{d}-\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} -S^p\right )$

$=d\left (l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\sum_{x=1}^{\infty }v^x-\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_x}{D_x} \right )$

$=d\left (l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\sum_{x=1}^{\infty }v^x-l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\sum_{x=1}^{x_r-y-1}v^x \right )$

$=d\left (l_{x_r}\ddot{a}_{x_r}\sum_{x=x_r-y}^{\infty }v^x \right )=dl_{x_r}\ddot{a}_{x_r}v^{x_r-y}\cdot\frac{1}{d}$ ・・・❶

ここで帳尻合わせ的に、 $\frac{l_y^{(T)}}{l_y^{(T)}}$ を❶に乗じると

$l_y^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_y}$

となります。

(２)

どうやら、

$\sum_{x=y+1}^{x_r-1}l_x^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}}{D_x}+\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x\ddot{a}_x$ ・・・❷

が積立金とのことで、これは(１)の第２項部分の一部に一致します。

また、(１)の第１項は

$\sum_{x=x_r}^{\omega}l_x=B$ ・・・❸

と考えることができ、(１)の左辺は $B-dF$ と置き換えることができます。

これは、Trowbrigeモデルの年金制度の極限方程式 $B-dF=C$ の左辺と等しい。

そのため、

$C=l_y^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_y}$

と推察できます。また、ここで、 $y=x_e$ の時を考えると、Cは

$^{In}C=l_{x_e}^{(T)}\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$

となるので、どうやらTrowbrigeモデルにおける加入時積立方式の年金制度で運営しているということがわかります。

問題３　保険料と給付を考えよう　★★☆☆☆

定年退職者のみに対し定年退職時に加入年数 𝑡 に応じて一時金額 𝑡 を支給する制度Ａについて考える。

なお、各記号の意味はそれぞれ次のとおりとし、保険料の払い込みおよび給付の支払いは期初に行われるものとする。財政方式を加入時積立方式とし、定常状態における期末の積立金として最も適切なものを選択肢の中から、１つ選びなさい。

(A)$\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}$　(B)$(x_r-x_e)\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}$

(C)$(x_r-x_e)l_{x_r}$　(D)$\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}$

(E)$(x_r-x_e)\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}$　(F)$(x_r-x_e)l_{x_r}/d$

(G)$\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}/d$　(H)$(x_r-x_e)\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}/d$

【アクチュアリー　２０２２年の問題から一部抜粋】

◆解答解説

通常のTrowbrigeモデルとは異なる設定の加入時積立方式の問題。

定常状態での積立金について問われているので、極限方程式を考えて積立金を求めていく。そのためには、制度全体の保険料、給付をまず求めていくことから考えていきます。

加入時積立方式は、保険料払い込み対象者は、新規加入した被保険者に限られ、これらの被保険者が、給付現価、つまりこの問題では退職時の給付現価相当額を一時で払い込みを行う。

退職時では、$t=x_r-x_e$が加入期間になるので、保険料率は

\(^{In}P=(x_r-x_e)\frac{D_{x_r}}{D_{x_e}}\・・・❶

となる。これより、制度全体の保険料は、

$^{In}C=l_{x_r}^{In}P=(x_r-x_e)v^{x_r-x_e}l_{x_r}$・・・❷

となる。

給付総額は、定年退職者のみを考えるので、

$B=(x_r-x_e)l_{x_r}$・・・❸

となる。この場合❷、❸を用いての極限方程式を考えると

$^{In}F=\frac{B}{d}-\frac{^{In}C}{d}$

=$\frac{(x_r-x_e)l_{x_r}}{d}-\frac{(x_r-x_e)v^{x_r-x_e}l_{x_r}}{d}$

=$(x_r-x_e)\frac{1-v^{x_r-x_e}}{d}l_{x_r}$・・・❹

ここで、

$\frac{1-v^{x_r-x_e}}{d}=\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}$・・・❺

なので、これを❹に代入すると

$(x_r-x_e)\ddot{a}_{\overline{x_r-x_e}|}l_{x_r}$

となるので、解答は(E)となります。

問題４　加入年齢方式と加入時積立方式　★★☆☆☆

Trowbridgeモデルの年金制度があり、定常状態に達しているものとする。財政方式を加入年齢方式とした場合の標準保険料を$^EP_{x_e}$とし、財政方式を加入時積立方式とした場合の標準保険料を$^{In}P_{x_e}$とすると$^EP_{x_e}=0.254$,$^{In}P_{x_e}=4.774$であった。さて、この年金制度の新規加入年齢を$x_e$から$x_e+1$に変更したとする。このとき、財政方式を加入年齢とした場合の新し標準保険料$^{EP_{x_e+1}}$は0.$\fbox{a}\fbox{b}\fbox{c}$となる。(小数点以下第４位を四捨五入)

なお、この変更に伴い脱退率などのそのほかの基礎率については変更がないものとする。a,b,cに当てはまる数字を求めなさい。

【アクチュアリー　年金数理　平成２１年　第１問(７)】

◆解答解説

加入年齢方式の標準保険料率は

$^EP=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_r}^{x_r-1}D_x}$

また、加入時積立方式の標準保険料率は

$^{In}P_{x_e}=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_e}}$

となっている。

ここで、$^EP_{x_e+1}=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e+1}^{x_r-1}D_x}$

$=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{\sum_{x=x_e}^{x_r-1}D-D_{x_e}}$・・・❶

となる。ここで❶の分母分子を$D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}$で除すると

❶＝$\frac{1}{1/^EP_{x_e}-1/^{In}P_{x_e}}$=0.2682734

となるので、a,b,cはそれぞれ2,6,8となります。

1⃣比較的簡単な問題。アクチュアリー受験研究会が出しているアクチュアリー試験合格へのストラテジー年金数理には、数値は異なるが同様の問題が掲載されている。

参考図書

アクチュアリー試験　合格へのストラテジー　年金数理　東京図書

【年金数理】加入時積立方式(Initial Funding Method)

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