今回は、予定新規加入者の算出方法について見ていきましょう。
計算基準日における加入者数、給与総額の集団を定常人口と仮定したとき、
解散基準日以降の脱退、昇給が基礎率通りに推移した場合に、加入者数、給与総額が計算基準日と同じになるように毎年の新規加入者数、給与を見込むとします。
◆見込み人数算出
人員分布の集団について予定新規加入者数と給与を算出します。
脱退残存表の残存者数ををlxで表すとし、今後毎年α×lx人の新規加入者が毎年加入し、脱退が
基礎率通りに起こるとすると、定常人口の加入者数では
が成り立ちます。
ここで計算基準日以前の集団の人数をLとすると、計算基準日以前と同じになるように加入者数が一致
ように考えているため、
が成り立ち、
とαの値がわかる。これより毎年歳の新規加入者数は、
となり、この人数の加入を見込めばいいことがわかります。
また、より、
とも変形できます。
これより
新規加入者＝計算基準日以前の加入者総数/脱退残存表における歳の平均加入期間
の関係であることがわかります。
◆見込み給与算出
続いて予定新規加入者の給与の算出方法を考えていきます。給与をとして、同様に計算基準日以後の定常人口での給与総額と現在の給与総額が一致する(
）を考える。
予定の新規加入者１人当たりの給与をとしたとき、
計算基準以後の給与総額は、
となります。これがBと一致するので
これより、予定新規加入者１人当たりの給与は
となります。これより、新規加入者の給与＝加入者の平均給与×
であることがわかります。
では問題を見ていきましょう。
問題１ 見込み人数の算出 ★★★☆☆
Trowbridgeモデルの年金制度において、被保険者集団は定常人口とし、期初の被保険者の総数をL、脱退残存表によるｘ歳の被保険者数を\(l_x\)、定年年齢を\(x_r\)、\(ε_x=\frac{\sum_{y=x}^{x_r-1}l_y}{l_x}\)とする。この時、次の①～③の各問に答えなさい。
①毎年期初に\(x_0\)歳のみの新規加入があるものとする。\(x_0\)歳での新規被保険者数を\(A_{x_0}\)とするとき、\(A_{x_0}\)を表す式として最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(Ａ)\(l_{x_0}\) (Ｂ)\(\frac{l_{x_0}}{ε_{x_0}}\) (Ｃ)\(\frac{L}{x_r-x_0}\)
(Ｄ)\(\frac{L}{x_r-x_0-1}\) (Ｅ)\(\frac{L}{l_{x_0}}\) (Ｆ)\(\frac{L}{l_{x_0}-l_{x_r}}\)
(Ｇ)\(\frac{L}{ε_{x_0}}\) (Ｈ)\(\frac{L}{ε_{x_0}+1}\) (Ｉ)\(\frac{L}{ε_{x_0}-1}\)
(Ｊ)\(\frac{L}{ε_{x_0}l_{x_0}}\)
②毎年期初に\(x_1\)歳と\(x_2\)際で\(α_1:α_2 (α_1>0,α_2>0)\)の割合で新規加入があるものとし、\(x_1<x_2\)とする。\(x_1\)歳での新規被保険者数を\(A_{x_1}\)とするとき、\(A_{x_1}\)を表す式として最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。
(A)\(\frac{L}{ε_{x_1}}\) (B)\(\frac{ε_{x_1}L+{ε_{x_2}L}}{α_{1}ε_{x_1}}\)
(C)\(\frac{ε_{x_1}L}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\) (D)\(\frac{α_1L}{α_1ε_{x_2}+α_2ε_{x_1}}\)
(E)\(\frac{α_1L}{α_1ε_{x_2}+α_2ε_{x_1}}\) (F)\(\frac{L}{α_1}\)
(G)\(\frac{α_1L+α_2L}{α_1ε_{x_1}}\) (H)\(\frac{ε_{x_1}L}{α_1ε_{x_2}+α_2ε_{x_1}}\)
(I)\(\frac{α_1ε_{x_1}L}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\) (J)\(\frac{α_1ε_{x_1}L}{α_1ε_{x_2}+α_2ε_{x_1}}\)
③②と同じ前提で、財政方式として特定年齢\(x_e\)歳の加入年齢方式を採用した場合を考える。\(x_1\)歳での新規被保険者数が\(A_{x_1}\)、\(x_2\)歳での新規被保険者数が\(A_{x_2}\)歳であるとし、新規被保険者に係る剰余および不足が発生しないとするとき、計算基数\(N_{x_e}\)を表す式として最も適切なものを選択肢の中から１つ選びなさい。
（A）\(\frac{α_1N_{x_1}+α_2N_{x_2}}{α_1+α_2}\) (B)\(\frac{α_1D_{x_2}N_{x_1}+α_2D_{x_1}N_{x_2}}{α_1D_{x_1}+α_2D_{x_2}}\)
(C)\(\frac{α_1D_{x_1}N_{x_1}+α_2D_{x_2}N_{x_2}}{α_1D_{x_1}+α_2D_{x_2}}\) (D)\(\frac{α_1D_{x_2}N_{x_1}+α_2D_{x_1}N_{x_2}}{α_1D_{x_2}+α_2D_{x_1}}\)
(E)\(\frac{α_2N_{x_1}+α_1N_{x_2}}{α_1+α_2}\) (F)\(\frac{α_1ε_{x_1}N_{x_1}+α_2ε_{x_2}N_{x_2}}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\)
(G)\(\frac{α_1ε_{x_2}N_{x_1}+α_2ε_{x_1}N_{x_2}}{α_1ε_{x_2}+α_2ε_{x_1}}\) (H)\(\frac{α_2ε_{x_2}N_{x_1}+α_1ε_{x_1}N_{x_2}}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\)
【アクチュアリー 年金数理 ２０２１年】
◆解答解説
各加入年齢における見込み人数の算出を行う頻出問題。流れ自体を覚えておきましょう。
①
\(x_0\)歳での新規被保険者数を\(A_{x_0}\)とすると
\(A_{x_0}・ε_{x_0}=A_{x_0}\)・・・❶
が成り立ちます。これより、❶を整理すると、
\(A_{x_0}=\frac{l_{x_0}}{ε_{x_0}}\)
となり、解答は(B)となります。
②
与条件より
\(A_{x_1}ε_{x_1}+A_{x_2}ε_{x_2}=L\)・・・❷
\(A_{x_1}:A_{x_2}=α_1:α_2\)・・・❸
が成り立つ。これらの連立方程式を解くと、
\(A_{x_1}=\frac{α_1L}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\)・・・❹
\(A_{x_2}=\frac{α_2L}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}\)・・・❺
となります。これより、(E)が正しいとわかります。
③
過不足ないと条件があるので、
\(A_{x_1}V_{x_1}+A_{x_2}V_{x_2}\)=０・・・❻
が成り立ちます。各年齢の新規被保険者数はすでに求まっているので、
責任準備金であるVを求めていく。
各年齢の責任準備金を将来法で考えると
\(V_y=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_y}-\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{N_{x_e}-N_{x_r}}×\frac{N_y-N_{x_r}}{D_y}\)・・・❼
となります。これを❻の式に適応すると
\(A_{x_1}(\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_1}}-\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{N_{x_e}-N_{x_r}}×\frac{N_{x_1}-N_{x_r}}{D_{x_1}})\)
\(+A_{x_2}(\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_2}}-\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{N_{x_e}-N_{x_r}}×\frac{N_{x_2}-N_{x_r}}{D_{x_2}})\)・・・❽
となる。
ここで( )の中の\(\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{D_{x_1}}=\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{N_{x_e}-N_{x_r}}・\frac{N_{x_e}-N_{x_r}}{D_{x_1}}\)・・・❾
となるので、❽の式を❾のように( )の中を整理し、共通因数でくくると
❽=\(\frac{L}{α_1ε_{x_1}+α_2ε_{x_2}}×\frac{D_{x_r}\ddot{a}_{x_r}}{N_{x_e}-N_{x_r}}×(\frac{α_1}{D_{x_1}}(N_{x_e}-N_{x_1})+\frac{α_2}{D_{x_2}}(N_{x_e}-N_{x_2}))\)・・・❿
となります。これは❻の式を変形したものなので、０であり、これを\(N_{x_e}\)について整理すると、
\(\frac{α_1D_{x_2}N_{x_1}+α_2D_{x_1}N_{x_2}}{α_1D_{x_2}+α_2D_{x_1}}\)
となります。
よって、解答は(D)
1⃣新規被保険者数を求めて、最終的に責任準備金を求める問題。何回かこの手の問題が出題されているので、流れを身に着けることが非常に大切です。