【年金数理】脱退時の平均年齢について

by Yu
2024年9月17日2024年9月17日

今回は脱退時の平均年齢について考えていきます。

脱退時の平均年齢wは

$w=\frac{\int_{s}^{f}xl_x \mu_{x}^{ } dx}{\int_{s}^{f}l_x\mu_{x}^{ }dx}$

という式で表せます。ここでのsは観察している対象の最低年齢を表し、ｆは観察している

対象の最高年齢を表します。ｆはω(最終年齢)をとることが多いです。

では問題を見ていきましょう。

問題１　★☆☆☆☆　(二重脱退の脱退時の平均年齢)

ある集団が原因Ａ、Ｂによって減少していく二重脱退表を考える。ｘ歳(０≦ｘ＜１００)

における原因Ａによる脱退力が

$\mu_{x}^{A} =\frac{1}{100-x}$

原因Ｂによる脱退力が

$\mu_{x}^{B} =0.1$ であるとするとき、40歳以上でＡ脱退するものの平均年齢を求めなさい。

ただし、必要とあれば $e^{-2}=0.1353$ , $e^{-5}=0.0067$

◆解答解説

脱退時の平均年齢

$w=\frac{\int_{s}^{f}xl_x \mu_{x}^{ } dx}{\int_{s}^{f}l_x\mu_{x}^{ }dx}$

を求めるためには、 $l_x$ を求める必要があるので、 $l_x$ を考えていく。

$l_x=l_0\cdot{ _xp}_0$

より、

$l_x=l_0\cdot exp(-\int_{0}^{x}\mu dt)$

$=l_0\cdot exp(-\int_{0}^{x}{\mu}_{t}^{A}+ {\mu}_{t}^{B}dt)$

とこのようにｘ歳の残存者の数はあらわすことができる。

これを元にこの問題でのｘ歳の残存者の数を考えていく。

$l_x=l_0\cdot exp(-\int_{0}^{x}{\mu}_{x}^{A}+ {\mu}_{x}^{B}dt)$ ・・・①

${\mu}_{t}^{A}=\frac{1}{100-t}$ , ${\mu}_{t}^{B}=b$ 　　とすると、

①は

$l_x=l_0\cdot exp(-\int_{0}^{x}(\frac{1}{100-t}+ b) dt)$

となる。これを計算すると、

$l_x=l_0\cdot exp([\log(100-t)-bt]_{0}^{x})$

$=l_0\cdot exp(\log\frac{100-x}{100}-bx)$

$=l_0\frac{100-x}{100}e^{-bx}$

これにより、 $l_x$ が求まったので、40歳以上で脱退するものの脱退時の平均年齢ｗは

$w=\frac{\int_{40}^{100}xl_x \mu_{x}^{A} dx}{\int_{40}^{100}l_x\mu_{x}^{A}dx}$ $=\frac{\int_{40}^{100}xl_0\frac{100-x}{100}e^{-bx}\frac{1}{100-x} dx}{\int_{40}^{100}l_0\frac{100-x}{100}\frac{1}{100-x}dx}$ $=\frac{\int_{40}^{100}xe^{-bx}dx}{\int_{40}^{100}e^{-bx}dx}$

この分子を部分積分すると

$=\frac{[-\frac{1}{b}xe^{-bx}]_{40}^{100}+\int_{40}^{100}\frac{e^{-bx}}{b}dx}{\int_{40}^{100}e^{-bx}dx}$

これを整理すると、

$=\frac{-100e^{-100b}+40e^{-40b}-\frac{1}{b}(e^{-100b}-e^{-40b})}{(e^{-100b}-e^{-40b})}$

ここで、ｂ＝0.05より代入すると

56.87402799が求まります。

1⃣この問題においては、加入モデルではあるが、\(l_x^{(T)}=a(1-\frac{x}{c})^n ,(b≦x≦c)\)といった形ではないので、ゴリゴリと上記のように計算する必要があります。

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