【年金数理】死力について

今回は、年金数理を考えるうえで重要な三つの勢いである利力、死力、昇給力のうち、死力について見ていきましょう。

 

死力は、

\(μ_x=-\frac{1}{l_x}\frac{l_x}{dx}\)・・・①

\(μ_{x+t}=-\frac{1}{l_{x+t}}\frac{l_{x+t}}{dt}\)・・・②

という形で表すことができ、特に2つ目の式を変形すると

\(μ_{x+t}=-\frac{l_x}{l_{x+t}}\frac{l_{x+t}/l_x}{dt}\)

=\(-\frac{1}{_tp_x}\frac{d_tp_x}{dt}=-\frac{d}{dt}log{_tp_x}\)・・・③

また、③の式から、

\(_tp_x=exp(-\int_{0}^{t}μ_{x+s}ds)\)

という関係がわかる。これより、死力から生存確率を計算することができることがわかります。

 

さらに、③の式の両辺に\(_tp_x\)を乗じる下記のように変形すると

\(_tp_x・μ_{x+t}=-\frac{d_tp_x}{dt}\)

=\(_tp_x・μ_{x+t}=-\frac{d(1-_tq_x)}{dt}\)

⇔\(\frac{d_tq_x}{dt}=_tp_x・μ_{x+t}\)・・・④

という関係も成り立ちます。これの両辺のｔについて積分すると、

\(_tq_x=\int_{0}^{t}{_sp_x}・μ_{x+s}ds\)・・・⑤

であるということがわかります。⑤の式としたの離散型の式比較してもらうと

\(_tq_x=\sum_{s=0}^{t-1}{_sp_x}・q_{x+s}\)

\(μ_{x+s}ds\)が瞬間的な死亡率の働きをしていることがわかります。

 

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問題１　死力と不等式　★☆☆☆☆

死力\(μ_x\)がｘについて、単調増加関数である時、\(μ_x\)と\(q_{x-1}\)の大小関係を求めなさい。

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◆解答解説

\(q_{x-1}=\int_{0}^{1}sp_{x-1}μ_{x-1+s}ds<\int_{0}^{1}μ_{x}ds=μ_{x}\)

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