終身保険は被保険者が死亡した場合に死亡保険金が支払われる保険です。
計算基数を用いて、
\(A_x=\frac{M_{x}-M_{ω}}{D_x}\)
で表すことができます。
問題１ 終身年金と終身年金 ★☆☆☆☆
ある年齢ｘ歳において、\(p_x=p_{x+1}\)が成立しているものとする。予定利率i=1.00%とするとき、\(A_x=0.7392\),\(\ddot{a}_{x+2}=25.0361\)であった。このとき、\(p_x\)の値に最も近いものは次のうちどれか。
(Ａ)0.980 (Ｂ)0.982 (Ｃ)0.984 (Ｄ)0.986 (Ｅ)0.988
(Ｆ)0.990 (Ｇ)0.992 (Ｈ)0.994 (Ｉ)0.996 (Ｊ).0998
【アクチュアリー 生命保険数理 平成２９年 問題２(2)】
◆解答解説
終身保険と終身年金との関係式を用いて整理していく。
\(A_x=1-d\ddot{a}_x=1-d(1+vp_{x}\ddot{a}_{x+1})\)
=\(1-d(1+vp_x(1+vp_{x+1}\ddot{a}_{x+2}))\)
これに諸数値を代入すると
\(0.7392=1-\frac{0.01}{1+0.01}(vp_xの２次方程式)\)
⇔\(25.0361(vp_x)^2+vp_x+1=26.3408\)
これを解の公式を用いて解くと
\(vp_x=0.9860954821\)となり、\(v=\frac{0.01}{1.01}\)から\(p_x=0.99595643692\)
≈0.996となるので、解答は(I)となります。
問題２ 終身年金の漸化式 ★★☆☆☆
\(A_x=0.754\),\(A_{x+1}=0.762\),\(e_x=21.372\),\(e_{x+1}=20.553\)のとき、予定利率の値に最も近いものは次のうちいずれか。
(ア)1.03％ (イ)1.13% (ウ)1.23% (エ)1.33%
(オ)1.43% (カ)1.53% (キ)1.63％ (ク)1.73%
【年金数理人 基礎数理Ⅱ 2020年(6)】
◆解答解説
終身保険の漸化式\(A_x=vq_x+vp_xA_{x+1}\)を利用して問題をかみ砕いていきましょう。
\(A_x=vq_x+vp_xA_{x+1}=v(1-p_x)+vp_xA_{x+1}\)・・・❶
\(e_x=(1+e_{x+1})p_x\)・・・❷
を立式する。ここで❷から
\(p_{x}=\frac{e_x}{1+e_{x+1}}\)
それぞれ、下記の値が求まるので、
\(p_x=0.99160209715\)
\(q_x=1-p_x=0.0083979029\)
与えられている諸数値に代入すると、
0.754=0.0083979029v+0.99160209715×0.762v
⇔0.7639924v=0.754
⇔v=0.9869208123
\(i=\frac{1}{v}-1≈0.013\)
となり(I)が正しいことがわかります。
問題３ 終身保険の責任準備金
x歳加入、保険料年払終身払込、保険金年度末支払、保険金額 1 の終身保険において第 5 保険年度末の平準純保険料式責任準備金\(_5V_t\)の値に最も近いものは次のうちどれか。ただし、\(_1V_{ x+ t}\) (t = 0,1,2,3,4)
は下表のとおりとする。
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(_1V_{x+t}\) | 0.01743 | 0.01779 | 0.01816 | 0.01853 | 0.01893 |
（Ａ） 0.08755 （Ｂ） 0.08760 （Ｃ） 0.08765 （Ｄ） 0.08770 （Ｅ） 0.08775
（Ｆ） 0.08780 （Ｇ） 0.08785 （Ｈ） 0.08790 （Ｉ） 0.08795 （Ｊ） 0.08800
【アクチュアリー 2024年度 問題１(１)】
◆解答解説
責任準備金の変形公式 \(_tV_x=1-(1-_1V_x)(1-_{1}V_{x+1})・・・(1-_1V_{x+t-1})\)
\(_5V_x=1-(1-_1V_x)・(1-_1V_{x+1})・(1-_1V_{x+2})・・・(1-_1V_{x+4})\)
\(_5V_x=1-0.98257・0.98221・0.98184・0.98147・0.98107\)
=1-0.9124006746=0.0875993254
よって、(B)となります。