今回は、確定年金について深堀していきましょう。
まずは、１年間に支払われる年金の総計を年金年額といいます。
この年金年額を１として、年１回の期初、期末ではなく年ｋ回支払うことを考えます。毎回の支払い額が\(\frac{1}{k}\)と年間でk回等分されることとなります。
この時、年金現価は各記号の肩に(k)と記して年間の支払い回数を示すものとすると、
\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(k)}=\frac{1}{k}(1+v^{\frac{1}{k}+・・・+v^{n-\frac{1}{k}}})\)
\(=\frac{1}{k}・\frac{1-v^n}{1-v^{\frac{1}{k}}}\)
となります。また、ここで、名称割引率\(d^{(k)}\)の
\((1-\frac{d^{(k)}}{k})^k=1-d\)
\(d^{(k)}=\left\{ 1-(1-d)^{\frac{1}{k}} \right\}^k\)
\(=k\left\{1-v^{\frac{1}{k}}\right\}\)
を用いると、
\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(k)}=\frac{1}{k}・\frac{1-v^n}{1-v^{\frac{1}{k}}}=\frac{1-v}{d^{(k)}}\)
と上記のように、現価率と名称割引率で表すことができます。
同様に、年金終価も
\(\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{1}{k}\left\{(1+i)^n+・・・+(1+i)^{\frac{1}{k}}\right\}\)
\(=\frac{1}{k}・\frac{(1+i)^{\frac{1}{k}}\left\{(1+i)^n-1\right\}}{(1+i)^{\frac{1}{k}}-1}\)
ここでも下記の名称利率\(i^{(k)}\)を用いると
\((1+\frac{i^{(m)}}{k})=(1+i)\)
⇔\(i^{(k)}=k\left\{(1+i)^{\frac{1}{k}}-1\right\}\)
年k回払の確定年金終価は
\(\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{1}{k}・\frac{(1+i)^{\frac{1}{k}}\left\{(1+i)^n-1\right\}}{i^{(k)}}\)
となります。
上記の場合は、期初払で考えたが、期末払いの場合の年金現価、終価はそれぞれ
\(a_{\overline{n}|}^{(k)}=\frac{1-v^n}{i^{(k)}}\)
\(s_{\overline{n}|}^{(k)}=\frac{(1+i)^n-1}{i^{(k)}}\)
では問題について見ていきましょう。
問題１ 年ｋ回払の確定年金
次の式を示しなさい。
\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(m)}=\ddot{a}_{\overline{1}|}^{(m)}・\ddot{a}_{\overline{n}|}\)
◆解答解説
\(\ddot{a}_{\overline{1}|}^{(m)}・\ddot{a}_{\overline{n}|}\)
\(=\frac{1-v}{d^{(k)}}・\frac{1-v^n}{1-v}\)
\(=\frac{1-v^n}{d^{(k)}}\)
これより、\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(m)}=\ddot{a}_{\overline{1}|}^{(m)}・\ddot{a}_{\overline{n}|}\)
が成立する。
問題２
次の式を示しなさい。
\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(k)}={a}_{\overline{n-\frac{1}{k}}|}^{(k)}+\frac{1}{k}\)
◆解答解説
\({a}_{\overline{n-\frac{1}{k}}|}^{(k)}=\frac{1}{k}\left\{v^{\frac{1}{k}+・・・+v^{n-\frac{1}{k}}}\right\}\)
これに\(\frac{1}{k}\)を加えると、
\({a}_{\overline{n-\frac{1}{k}}|}^{(k)}+\frac{1}{k}=\frac{1}{k}\left\{1+v^{\frac{1}{k}+・・・+v^{n-\frac{1}{k}}}\right\}\)
\(=\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(k)}\)
となります。
1⃣上記の式は、\(\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(k)}-\frac{1}{k}={a}_{\overline{n-\frac{1}{k}}|}^{(k)}\)という形にすると、元利均等償却の１回目の返済後の元金残高を求めるのに活用できます。
参考文献：
生命保険数学の基礎 アクチュアリー数学入門第２版 東京大学出版会
確率で考える生命保険数学入門 岩波書店
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