今回は中学受験から大学受験の計算分野で出てくる連分数の作り方、またそれに関連する問題について紹介します。
そもそも、連分数とは分数の中に分数が含まれる特殊な分数の事を指します。
一般的に連分数は上記のようになっています。ではここで連分数の作り方を見ていきましょう。
まず、上記のようにある分数を整数部分と小数部分に分け、そののち小数部分の分母にその小数を、分子に１が来るよう変形します。そして下記のようにその分母をさらに整数部分と小数部分に分けます。
このように、連分数を作る一連の流れを連分数分解といいます。
この連分数分解は実は無理数の近似値を求めるのに利用されたりしています。
では実際に関連した問題を見ていきましょう。
問題１
ある日、算数クラブに所属する南くんと河内くん、そして大阪先生の三人は
のように分数の式が上のように変形にできることについて、会話しました。
三人の会話を読んで以下の問題に答えよ。
大阪先生：南くんは分数の計算が得意だって言っていたよね。
南くん：いやあ、周りがそういってるだけだよ。そういえば、この前の塾の授業で分数の分母か分子のどちらかに分数が含まれている変な分数の計算について習ったんだけど、いまいちわからないだよな…
大阪先生：それは繁分数（はんぶんすう）というやつだね。
南くん：たしかそんな名前だったかな。計算の話になるんだけど
を簡単な形にしなさいっていうんだ。見た目がもう受け入れられないよ。
河内君：うわあ、南くんは凄いことを勉強しているんだなあ。これって、分母から計算すればいいのかな？
大阪先生：おお！そうだね。分数の計算ドリルを毎日やってる成果が出てるじゃないか！計算の話になるけど、複雑な分母の から計算すればいいんだよ。計算すると
となるから
を
で割ればいいだよ。
南くん：なるほど！繁分数についてわかってきました。
大阪先生：せっかくだし、繁分数を利用した変わった式変形について学んでみよう。7を３１で割った数を
このように変形できることはわかるかな？
河内君：うん。1をで割ってあげると同じことだとわかるよ。
大阪先生：流石だね。この分母の
は
と変形できるよね。ここで出てくる
をさらに、
のように分子に１が出てくるように変形して、またそれを繰り返す。このような作業を連分数展開といい。分子に常に1が出てくるようなこの繁分数を正則連分数というんだ。
南くん：先生、もう完璧ですよ！
となるんでしょう！
大阪先生：その通り！もう繁分数も連分数も問題ないね！
（１）三人の会話をもとに
を計算しなさい。
（２）〇、★には１から９までの数字が入ります。それぞれを求めなさい。
（wakuwaku-mathオリジナル問題）
解答
（１） （２）〇＝２,★＝３