今回は、色付きの図形問題へ利用することができるヒポクラテスの定理について紹介します。
この定理は「角Ａが直角である直角三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ、ＡＣ、ＢＣを直径とする半円を、図のようにすべて、同じ側に描いたときに、二つの三日月型の面積の和は直角三角形の面積に等しい」という定理です。まあ、簡単にいうと、図の水色部分と青色部分の面積が同じという定理ですね。
証明には中学三年で学習する三平方の定理を利用するので、中学受験をするお子さんには難しい内容かもしれません。
ただ、この定理の有用性は証明などではなく、検算や計算のスピードを上げるという点にあります。
下記の問題でその効果を実感してもらいましょう。
上記の問題にヒポクラテスの定理を利用すると、三角形の面積が二つの三日月型の面積の和と等しくなるため、三角形の面積を計算したその結果が８×15÷２＝60㎠であるので、60㎠が答えとなります。
このように計算が楽にできることがこの定理の魅力ですが、幾何学の不思議な性質を子供に感じてもらうというのが本当の魅力であるように思います。
以下にこの定理の証明方法を載せておくので、興味のある方はぜひ読んでもらえると解説に説得力がつくと思います。
(証明)
ピタゴラスの定理から、・・・①
また、二つの三日月型の面積の和を式に直し、①を用いると
・・・②
が成り立ちます。これは半円ＡＢ＋半円ＡＣ＝半円ＢＣを表しており、この両辺から、図の白い部分を取り除くと、三日月ＡＢ＋三日月ＡＣ＝三角形ＡＢＣが成り立ちます。
ぐっど