【年金数理】責任準備金について

今回は、責任準備金についてみていきましょう。

責任準備金とは、将来に亘り(わたり)給付を行うために、必要な額のうち、理論的に積み立てておかなければならない額の事を言います。

責任準備金は下記のような式で表すことができ、

責任準備金＝給付現価-保険料収入現価・・・①

 

給付現価から保険料収入現価を差し引いたものとなっています。この形は、将来の支出に備えて、留保しておくべき現価額から将来の総収入の現価をひいたものとなっており、計算時点から見て将来について収支を考えています。このような責任準備金を将来法による責任準備金といいます。これに対して、過去法による責任準備金というものもあります。

収支相等の原則が成り立っている場合は、

 

将来法の責任準備金と過去法の責任準備金は等しくなります。

どちらが優れているというわけでないですが、メタ的な視点にはなりますが、アクチュアリー・年金数理人の試験の場合は、基本的に将来法で問題が解けるよう作問されているため、過去法は計算基数などが与えられない限りは、試験ではあまり使うことはないです。

ただ、年金現価・年金終価・計算基数などの情報が多く与えられている場合は、過去法で求めると計算時間が短縮されるものも存在しています。

 

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問題１　責任準備金の求め方　★★☆☆☆

ある企業の年金制度は、制度設立後の加入期間に基づきある乗率を用いて年金額を決める部分および設立前の期間を通算した勤続期問に基づき別の乗率を用いて年金額を決める部分の合計から成り立っている。
⓪この企業において、制度設立後の加入期間に基づき乗率（A）+乗率（B）を用いて年金額が決定される制度について計算を行ったところ、加入年齢方式の財政方式における標準保険料率はP、責任準備金額は\(V_0\)となった。
①同様に、設立前の期間を通算した勤続期間に基づき乗率（A）+乗率（B）を用いて年金額が決定される制度において、標準保険料率はPを用いた場合の責任準備金額は\(V_1\)となった。
②また、標準保険料率はPを用いるが、設立前の期間を通算した勤続期間に基づき乗率（A）を用いて金額を決定する給付と、設立後の加入期間に基づき乗率（B）を用いて年金額が決定される給付を合計した退職年金制度の責任準備金額は\(V_2\)となった。
③制度設立後の加入期間に基づき乗率（A）を用いて金額が決定される給付および設立前の期間を通算した勤続期間に基づき乗率（B）を用いて年金額が決定される給付を合計した退職年金制度の責任準備金額を算出したい。算出したい制度について標準保険料率としてPを用いる場合の責任準備金額の算式を、\(V_0\)、\(V_1\)、\(V_2\)を用いて表しなさい。

【アクチュアリー年金数理　平成１１年】

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◆解答解説

一般的に責任準備金を求める際は、将来法で求めるので、将来の給付現価から将来の給付現価を引いて求めていきましょう。まず、求めたい年金制度の責任準備金を\(V_3\)とした場合について考えていきましょう。

 

\(V_3=S^a_{FS}(A)+S^a_{PS}(B)+S^a_{FS}(B)-^EPG^a\)・・・❶

と給付が２種類ある責任準備金を考える。

これをほかの責任準備金で表するので、ほかの制度の責任準備金をそれぞれ求めると

\(V_0=S^a_{FS}(A+B)-PG^a=S^a_{FS}(A)+S^a_{FS}(B)-^EPG^a\)・・・❷

\(V_1=S^a(A+B)-^EPG^a=S^a(A)+S^a(B)-^EPG^a\)・・・❸

\(V_2=S^a(A)+S^a_{FS}(B)-^EPG^a\)・・・❹

となる。これより、❶は、

\(V_0+V_1-V_2\)

となります。

 

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問題２　給付算定式の意味から推察する　★★★☆☆

加入期間ｔ年で脱退した者に対して\(α_t\)を給付する年金制度がある。この制度の給付設計を変更し、制度変更前の加入期間と制度変更後の加入期間に基づいて給付額を計算することとする。ここで、変更前の加入期間t年、変更後の加入期間s年で脱退した者に対して、給付額を(１)、(２)の２パターンに分けて

（1）\(α_t+０．２α_s\)
（2）\(０．９α_t+０．１α_{t+s}\)

とする設計を行った。すると責任準備金はどちらも変更前の制度の５５％となった。このとき・給付額を

\(α_t+０．６α_s\)

とした場合の責任準備金は変更前に比べて、abc%となった。

a、b、cにそれぞれ当てはまる１～９までの数字を考えなさい。（計算結果は％単位で小数点以下第１位を四捨五入しなさい。また、解答が１０％未満の場合はα、ｂは０、１００％未満の場合はaは０となる。）なお、変更前後で計算基礎率の見直しは行わず、財政方式は変更前後ともに加入年齢方式を採用する。また、制度変更後の標準保険料率は、制度変更後の新規加入者に対する保険料率を加入者全員に対して適用するものとし、計算時点で受給権者は存在しないものとする。

【アクチュアリー平成２３年　年金数理】

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◆解答解説

責任準備金の比較を行う問題。(１)、(２)へ制度変更した場合ともともとの責任準備金を比較するので、もともとの責任準備金を考える際の加入期間はｔではなくｔ＋ｓにすることに注意し比較を行っていく。

もともとの責任準備金は、

\(V_0=S(α_{t+s})-^EPG^a\)・・・❶

となる。※\(α_{t+s}\)は過去期間も通算することを意味しています。

また、(１)、(２)のそれぞれの場合の責任準備金は、

\(V_1=S(α_t)+０．２(S(α_s)-^EG^a)=０．５５V_0\)・・・❷

\(V_2=０．９S(α_t)+０．１(S(α_{t+s})-^EG^a)=０．５５V_0\)・・・❸

 

※制度変更後の保険料率は、ｔ＝０として、給付を考え、保険料を全加入者に適応する。そのため、制度変更後の加入期間の給付算定式から保険料率は、０．２\(^EPG^a\)、０.１\(^EPG^a\)となっている。よくある間違いとして、\(^EPG^a\)としないように注意する必要があります。

 

ここで目的の責任準備金について考えていく。

\((a.bc)V_0=S(α_t)+０．６(S(α_s)-^EPG^a)\)・・・❹

❶、❷、❸を消去法で❹を導くのは時間がかかるので、代入法で\(S(α_t)\)、\(S(α_s)-^EPG^a\)をそれぞれ求め、❹へ代入する方針で処理を行っていく。❶を❸に代入すると

\(０．９S(α_t)+０．１V_0=０．５５V_0\)・・・❸’

より、\(S(α_t)=０．５V＿0\)・・・❺

とわかる。次に、❺を❷に代入すると

\(S(α_s)-^EPG^a=\frac{０．５}{０．２}V_0\)・・・❻

が求まります。これら❺、❻を❹に代入すると

❹＝０．１５\(V_0\)

となっていることがわかる。これより、a=０，b=１,c=５となっています。

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問題３

定年退職者(定年年齢６０歳)に加入期間に応じた定額の年金を給付する年金制度において、ある年度末の加入者は次の２名で構成されています。

加入者A：　年齢５０歳、加入年齢１０年、給付現価\(S_a\)

加入者B：　年齢４０歳、加入年齢２０年、給付現価\(S_b\)

この年金制度は加入年齢方式(特定年齢３０歳)で運営されているが、この年度末に加入期間ｔ年の給付額を(１＋ｋ・ｔ)倍(ただし、ｋ＞０)とする給付増額を実施した。財政方式および基礎率の見直しを行わない場合、責任準備金は制度変更前と変わらなかった。このときの責任準備金の額として最も適切なものは次のうちいずれか

(A)\(\frac{S_a+S_b}{2}\)　(B)\(\frac{S_a-S_b}{2}\)　(C)\(\frac{2S_a+4S_b}{3}\)

(D)\(\frac{S_a+S_b}{3}\)　(E)\(\frac{S_a-S_b}{3}\)

【年金数理人　平成２５年　年金数理】

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◆解答解説

まず、給付増額前の責任準備金を将来法で求めていきましょう。

\(^EV=S_a+S_b-^EPG^a\)・・・❶

次に給付増額した場合の責任準備金は、

\(^EV’=(1+20k)S_a+(1+40k)S_b-(1+30k)^EPG^a\)・・・❷

ここで、❶と❷が同じ値のため、❷-❶を行うと０となる。これを行うことで変数を減らすことができるので、

\(0=k(20S_a+40S_b-30^EPG^a)\

ｋ＞０のため、\(20S_a+40S_b-30^EPG^a=0\)が成り立つ。これより、

\(^EPG^a=\frac{2S_a+4S_b}{3}\)・・・❸

が求まる。これを、❶に代入すると、

\(^EV=\frac{S_a-S_b}{3}\)

となる。よって、(E)が正しい。

 

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問題４　責任準備金と未償却債務

ある年金制度において、財政方式は開放基金方式としており、定常人口に達しているある年度宋の財政状態は、積立金がFであり、標準保険料率\(^{OAN}P\)による保険料収入\(^{OAN}C\)の現価の他に、収入現価としてU相当の特別保険料を徴収することで、給付現価と収支相等する計画となっていた。この年度末に、すでに年金者となっている者以外の者の給付を一律（1＋α）倍とする変更を行った。変更後の標準保険料率も（1＋α）倍するとした場合の変更後の未償却過去勤務債務として、正しい算式の記号を選べ。ただし、この制度において受給待期者はいないものとする。

(A)\(U+α\cdot S^a_{PS}\)　　(B)\((1+α)U+α\cdot F\)　　(C)\(U+α\cdot F\)

(D)\((1+α)U+α\cdot S^p\)　　(E)\((1+α)U+αS^a_{PS}\)

【アクチュアリー年金数理　平成１２年】

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◆解答解説

未償却の過去勤務債務がどのように変化するかを考える問題。

まずは、着手しやすい開放基金方式の責任準備金から求めていく。

\(^{OAN}V=S^p+S^a+S^f-^{OAN}P{G^a+G^f}=S^p+S^a_{PS}\)・・・❶

となる。財政再計算の問題ではないので、いきなり\^{OAN}V=S^p+S^a_{PS}\)を用いてもいい。

これより、元々も未償却勤務債務は、

\(U=^{OAN}V-F\)・・・❷

となります。

次に、年金受給権者以外の給付を(１＋α)倍し、保険料率も(１＋α)倍した場合の責任準備金を考える。

\(^{OAN}V’=S^p+(1+α)(S^a+S^f-^{OAN}P{G^a+G^f}=S^p+S^a_{PS})\)

⇔\(^{OAN}V’=^{OAN}V+α\cdot S^a_{PS}\)・・・❸

となる。これより、

\(U’=^{OAN}V’-F=^{OAN}V+αS^a_{PS}-F=U+αS^a_{PS}\)

よって、(A)

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問題５　定常状態と給付状態から責任準備金を導く　★★☆☆☆

定年退職者のみに一時金を支給する制度が定常状態に達している。新規加入者数を\(l_{20}\)とするとき、期初(新規加入後、保険料払い込み前)における制度全体の責任準備金に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。必要であれば諸数値を使用しなさい。

＜計算の前提＞

・財政方式は加入年齢方式を採用

・保険料は年１回期初払い、給付は年１回期末払い

・加入年齢は20歳、定年年齢は60歳

・制度からの脱退は、中途退職による脱退(加入中の死亡を含む、以下同じ)と定年退職による脱退の２種

・中途退職による脱退率は期末に発生する

・定年退職以外の脱退は期末に発生する

・定年退職者は定年年齢到達年度の前年度期末(すなわち、加入からちょうど40年後)に制度から脱退し、一時金を受け取るものとする

＜諸数値＞

\(1.015^{40}=1.81402\)

\(0.975^{40}=0.36323\)

(A)6.0\(l_{20}\)　(B)6.2\(l_{20}\)　(C)6.4\(l_{20}\)　(D)6.6\(l_{20}\)　(E)6.8\(l_{20}\)

(F)7.0\(l_{20}\)　(G)7.2\(l_{20}\)　(H)7.4\(l_{20}\)　(I)7.6\(l_{20}\)　(J)7.8\(l_{20}\)

(K)8.0\(l_{20}\)　(L)8.2\(l_{20}\)

【アクチュアリー 年金数理　2025年　第１問(４)】

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◆解答・解説

解答方針としては、定常状態とあるので、極限方程式を立式して考えていく。保険料、給付の支払い時期をもとに考えると

\(V=(V+^EP×被保険者総数)×(1.015)-B_{一時金}\)

が考えられる。ここで、標準保険料率\(^EP\)は

\(^EP=\frac{D_{60}×1}{\sum_{20}^{59}D_{x}}\)

\(=\frac{l_{20}×v^{60}×0.975^{40}}{l_{20}v^{20}(1+・・・+v^{39}・0.975^{39})}=0.00986668143\)

とわかる。また、被保険者総数は

\(l_{20}×(1+・・・+0.975^{39})=\frac{0.63677}{0.025}=25.4708\)となる。

最後に、定年退職者への給付は\(B_{一時金}=1×0.975^{40}×l_{20}\)

となる。これらを、極限方程式に代入し、Vについて整理すると、

V＝7.20986977333\(l_{20}\)≈7.2\(l_{20}\)

とわかる。これより、解答は(G)となる。