今回は、アートの回帰分析を行う際に出てくる偏微分について考えていきます。
偏微分(へんびぶん)とは、多変数関数を特定の文字以外を定数として、微分したもののことを言います。
例えば、下の式の→をxについて偏微分をおこなうと考えると、yは定数とみなされるため、\(x^3+xy→3x^2+y\)となります。
このように、特定の文字以外を定数とみなして微分したものを偏導関数といいます。
◆偏微分の記号について
xについての偏微分は\(\frac{∂f(x,y)}{∂x}\)と表します。
また、yについての偏微分は\(\frac{∂f(x,y)}{∂y}\)と表します。
最後に、xで偏微分してからyで偏微分したものを\(\frac{∂f(x,y)}{∂y∂x}\)
∂は『デル』『ラウンドディー』『パーシャル』『ディー』などとたくさんの読み方が読あります。日本語入力システムにおいては、『デル』と入力し変換すると候補に表示されると思います。
では例題を見ていきましょう。
問題１ 偏微分の計算
次の関数を偏微分しなさい。
(1)\(f(x,y)=x^2-3xy+y^2\)
(2)\(f(x,y)=log(x-y)\)
(3)\(f(x,y)=x^y\)
◆解答解説
(１)\(\frac{∂f(x,y)}{∂x}=2x-3y\),\(\frac{∂f(x,y)}{∂y}=2y-3x\)
(２)\(\frac{∂f(x,y)}{∂x}=\frac{1}{x-y}\),\(\frac{∂f(x,y)}{∂y}=\frac{1}{y-x}\)
(３)\(\frac{∂f(x,y)}{∂x}=yx^{y-1}\),\(\frac{∂f(x,y)}{∂y}=x^y・logx\)