今回は、加入年齢方式や保険料の大小の分析においてたびたび出てくる
年齢別将来期間対応保険料について考えていきましょう。
年齢別将来期間対応保険料を下記のように定義します。
・・・①
これは、退職者に対し、保険料は毎年期初払、財政方式を加入年齢方式とし
加入年齢あたりの年金額を定年年齢
歳の期初から終身にわたり、給付する制度を表しています。
上記の式①において、の時、
・・・②
が成り立ちます。
加えて、は単調増加性を持っています。単調増加性を持っていることを証明していきましょう。
問題１ ★★☆☆☆ 年齢別将来期間対応保険料の単調増加性について
生存退職退職者に加入期間k年に対して、の年金額を定年年齢
歳の期初から終身にわたり、
給付する制度を考える。保険料は毎年期初払として、財政方式を加入年齢方式として、予定利率を
正数値とする。この時、各年齢における生存脱退率がすべて０の場合、加入年齢が上昇すれば、
標準保険料が上昇することを示せ。
また、生存脱退率がすべて０のため、標準保険料率の算定をするうえで、定年退職(定年到達)以外
の給付を考える必要はない。そのため、
この制度の標準保険料は
ここで、加入年齢を１つずらした標準保険料との比をとって、単調増加性を判断していく。
ここで、
は狭義の単調減少関数なので、
が成り立ちます。これより、
と考えることが出来ます。
これより、となるので、
は単調増加関数であるとわかる。
年齢別将来期間対応保険料においては、
単位積立方式の保険料を
上記の式をだけ和をとると
となる。これより、
と表すことができ、年齢別将来期間対応保険料は、単位積立方式の
加重平均であることがわかります。
また、の時、
となります。
これより、保険料同士の関係は
このような図の関係になるとわかる。