【年金数理】移換と極限方程式

今回は、移換についてみていきましょう。移換とは、資産移換とも呼ばれ、積立てられた年金資産を他のファンド(基金)に移すことをいいます。

例えば、保険料支払い、給付ともに期初とし、ある条件を満たした年金受給者に対しては、ファンドAより給付 $B_A$ を行い、ほかの年金受給者にはB基金より給付 $B_B$ を行うものとする。一方、保険料は平準保険料CがファンドAに払い込まれるとする。また、ファンドAよりファンドBに対しては、B基金からの年金給付のための年金現価相当額を移換金Rとしてとして払い込まれるものとしましょう。

被保険者、年金受給権者がともに定常状態で達した場合、それぞれ下記のような極限方程式をそれぞれ立式することができます。

ファンドA: $(F_A+C-B_A-R)(1+i)=F_A$ ・・・①

ファンドB: $(F_B+R-B_B)(1+i)=F_B$ ・・・②

では実際に問題を見ていきましょう。

問題１　移換と極限方程式　★☆☆☆☆

ある年金制度において、ある一定の条件を満たした年金受給者に対しては、A基金より給付を行い、ほかの年金受給者にはB基金より給付を行うものとする。一方、保険料は平準保険料によりA基金に払い込まれ、また、A基金よりB基金に対しては、B基金からの年金給付のための年金現価相当額を保険料として払い込まれるものとする。被保険者および年金受給者がともに定常状態に達した場合のA，B両基金の期初積立金の比（A基金の積立金／B基金の積立金）を求めなさい。なお、A基金に払い込まれる保険料をP，A基金が支払う年金給付を $S_A$ 、B基金に払い込まれる保険料をQ、B基金が支払う年金給付を $S_B$ とし、両基金の予定利率は等しく、保険料、年金給付ともに期切払いとする。

◆解答解説

定常状態のため、極限方程式を考えることができます。

Aの年金制度において、A基金からの支出は、年金給付とB基金へ払いこまれる保険料(移換金)のため、

$(F_A+C-S^a-Q)(1+i)=F_A$ ・・・❶

$(F_B+Q-S^B)(1+i)=F_B$ ・・・❷

の２式が立式できます。

これをそれぞれ積立金について整理すると

$F_A=\frac{1}{d}(S^A+Q-C)$ ・・・❶’

$F_B=\frac{1}{d}(S^B-Q)$ ・・・❷’

となります。これを比をとると、

$\frac{F_A}{F_B}=\frac{(S^A+Q-C)}{(S^B-Q)}$

が求まります。

問題２　Trowbridgeモデルでない移換　★★☆☆☆

ある年金制度において、ある一定の条件を満たした年金受給権者に対しては、Ａ基金より給付を行い、ほかの年金受給権者にはＢ基金より給付を行うものとする。一方、保険料は平準保険料によりＡ基金に払い込まれ、また、Ａ基金よりＢ基金に対しては、Ｂ基金からの年金給付のための原資を移管金として支払うものとする。年金制度が定常状態に達した場合のＡ、Ｂ両基金の期初積立金の比（Ａ基金の積立金／Ｂ基金の積立金）として正しいものは次のいずれか。なお、Ａ基金に払い込まれる保険料を𝑃、Ａ基金が支払う年金給付 $S_A$ を、Ｂ基金が支払う年金給付を $S_B$ 、Ａ基金からＢ基金に支払う移管金を𝑄とし、Ａ基金およびＢ基金それぞれにおいて定常状態に達しているとする。保険料、年金給付は期初払い、移管金は期末払い、Ａ基金の予定利率は２i、Ｂ基金の予定利率はiとする。

(A) $2\frac{(1+2i)(S_A-P)-Q}{(1+i)S_B-Q}$